Funções definidas por ramos

Funções definidas por ramos

Considere-se a função definida por $$f(x)=\displaystyle\begin{cases} \displaystyle \frac{x^2-1}2 & \text{se }x < 2 \\ 2-x &\text{se }x \ge 2 \end{cases} $$ cujo domínio é $\mathbb{R}$. Dependendo dos valores de $x$, a expressão para calcular $f(x)$ é diferente. Por exemplo, $f(3)= 2-3=-1$ e $f(1)=\displaystyle \frac{1^2-1}{2}=0$. Observe-se que $f(2)=2-2=0$ e $\displaystyle f(2)\ne\frac32=\displaystyle \frac{2^2-1}2$.

Esta função tem regras diferentes para valores de $x<2$ e para valores de $x \ge 2$, daí que se use a designação de função definida por ramos: cada ramo tem uma expressão analítica diferente.

Algumas propriedades desta função:

• $f$ é crescente em $[0,2[$ e decrescente em $]-\infty, 0]$ e em $[2, +\infty[$ .
• $f$ tem um mínimo local em $\DS (0,f(0))=\left(0,-\frac{1}{2}\right)$, mas não tem máximos, nem locais nem absolutos.
• Os zeros de $f$ são $-1,1,2$. Em $]-\infty, -1[$ e em $]1,2[$ a função é positiva ($f(x)>0$). Em $]-1,1[$ e em $]2,+\infty[$ a função é negativa ($f(x)<0$).
• O gráfico de $f$ tem um ``salto" em $x=2$, o que se traduz na afirmação, $f$ é descontínua em $x=2$.
• A função $f$ não é limitada: para valores de $x$ negativos mas de valor absoluto muito elevados a função toma valores muito elevados e para valores de $x$ positivos muito elevados a função toma valores negativos de valor absoluto muito elevados. Dizemos que, quando $x$ tende para $+\infty$, o limite de $f(x)$ é $-\infty$ $\DS \left( \lim_{x\rightarrow +\infty}{f(x)}=-\infty \right)$ e que o limite de $f(x)$ quando $x$ tende para $-\infty$ é $+\infty$ $\left(\DS \lim_{x\rightarrow -\infty}{f(x)}=+\infty \right)$.