Exemplos 4

Exemplo 1

Determinar a solução da equação $e^x=e^{-x}$.

Como a função exponencial é injectiva temos $$e^x=e^{-x}\Leftrightarrow x=-x \Leftrightarrow 2x=0 \Leftrightarrow x = 0$$

Exemplo 2

Determinar os valores de $x$ tais que $\displaystyle 2^x\leq \frac{1}{2}$.

Como a função $f(x)=2^x$ é estritamente crescente e $\displaystyle \frac{1}{2}=2^{-1}$, temos $$2^x\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2^x\leq 2^{-1} \Leftrightarrow x\leq -1 $$

Exemplo 3

O conjunto solução de $4^x-3\cdot 2^x+2\leq 0$ obtém-se resolvendo a inequação $y^2-3y+2\leq 0$, com $y=2^x$. Repare-se que $\DS y^2=\left(2^x\right)^2=\left(2^2\right)^x=4^x$. $$y^2-3y+2\leq 0 \Leftrightarrow 1\leq y\leq 2,$$ porque a função dada pela equação $y^2-3y+2$ é representada graficamente por uma parábola de zeros $1$ e $2$ e concavidade voltada para cima. Então, como a função exponencial $f(x)=2^x$ é crescente, $$2^0\leq 2^x\leq 2^1\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1.$$ Assim, o conjunto solução da inequação é $[0,1]$.

Exemplo 4

\item Para determinar os valores de $x$ que satisfazem $\DS \frac{1-2^{3x-1}}{3^{x^2-2}-9}\geq 0$, começamos por determinar os zeros do numerador e do denominador: $$1-2^{3x-1}=0 \Leftrightarrow 2^{3x-1}=1 \Leftrightarrow 2^{3x-1}=2^0 \Leftrightarrow 3x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\hspace{1cm}\mbox{(pela injectividade)}$$ $$3^{x^2-2}-9=0 \Leftrightarrow 3^{x^2-2}=3^2 \Leftrightarrow x^2-2=2 \Leftrightarrow x^2-4=0 \Leftrightarrow x=2 \vee x=-2$$ Como a função exponencial de base maior do que $1$ é crescente, podemos construir a seguinte tabela de variação de sinal: % $1-2^{3x-1}>0 %\Longleftrightarrow 2^{3x-1}<2^0 \Longleftrightarrow %3x-1<0 \Longleftrightarrow x<\frac{1}{3}$\\ %$3^{x^2-2}-9>0 \Longleftrightarrow 3^{x^2-2}>3^2 %\Longleftrightarrow x^2-4>0 \Longleftrightarrow x<-2 \vee x>2.$\\ %$C.S.=]-\infty,-2[\cup[\frac{1}{3},2[$ $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} & \hspace{6mm} & -2 &\hspace{6mm} & \frac{1}{3} & \hspace{6mm}& 2 & \hspace{6mm} \\ \hline 1-2^{3x-1} & + & + & + & 0 & - & - & - \\ \hline 3^{x^2-2}-9 & + & 0 & - & - & -& 0 & + \\ \hline & & & & & & & \\ \DS \frac{1-2^{3x-1}}{3^{x^2-2}-9} &+&\mbox{SS}& - & 0& + &\mbox{SS} &- \\ \\ \end{array}$$ Assim, o conjunto solução da inequação dada é: $$\mbox{C.S.}=\left]-\infty,-2\right[ \cup \left[\frac{1}{3},2\right[$$

\item Para resolver a inequação $x^{2}e^{x+1}-xe^{x+2}<0$, podemos pôr em evidência o factor $xe^{x+1}$ para posteriormente aplicar a lei do anulamento do produto:

$$x^{2}e^{x+1}-xe^{x+2}= xe^{x+1}(x-e)$$

Assim, $$xe^{x+1}(x-e)=0 \Leftrightarrow xe^{x+1}=0 \vee (x-e)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=e $$ Como $e^{x+1}>0, \forall x \in \mathbb{R}$, o sinal de $xe^{x+1}$ apenas depende do sinal de $x$. Então, $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & \hspace{6mm} & 0& &e& \hspace{6mm} \\ \hline xe^{x+1} & - & 0 & + & + &+ \\ \hline x-e & - & - & - &0 & + \\ \hline \DS x^{2}e^{x+1}-xe^{x+2}=xe^{x+1}(x-e) &+&0& - & 0& + \\ \end{array}$$ O conjunto solução da inequação é: $$\mbox{C.S.}=]0,e[.$$ \item Determinar os parâmetros $a$ e $b$ para que a expressão $y=a+b^{x+1}$ defina uma função cujo gráfico intersecte o eixo das ordenadas ($yy$) no ponto de ordenada $7$ e tenha por assímptota a recta de equação $y=2$, isto é, quando $x$ tende para $+\infty$ ou $-\infty$ (dependendo de $b>1$ ou $0<b<1$), $f(x)$ tende para 2.\\

Se o gráfico da função de equação $y=a+b^{x+1}$ intersecta o eixo das ordenadas em $(0,7)$ isto significa que $a+b^{0+1}=a+b=7$. Como $b^{x+1}$ tem como assímptota a recta $y=0$ (quando $x$ tende para $+\infty$ se $0<b<1$ ou quando $x$ tende para $-\infty$ se $b>1$), resulta que $\DS a+b^{x+1}$ tem como assímptota a recta horizontal $y=a$. Então $a=2$ e portanto $b=5$.

Poderíamos interpretar o problema usando a translação de gráficos de funções. A função $y=a+b^{x+1}$ resulta da translação associada ao vector $(-1,a)$ do gráfico da função dada por $y=b^x$(o gráfico desloca-se uma unidade para a esquerda e $a$ unidades na vertical - para cima se $a>0$ e para baixo se $a<0$). Como a recta $y=0$ é a única assímptota do gráfico de $y=b^x$, a recta $y=a$ é a única assímptota do gráfico de $y=a+b^{x+1}$. Podemos então afirmar que $a=2$.

Como o gráfico da função passa pelo ponto $(0,7)$, substituindo $x=0$ e $y=7$ na equação que traduz a expressão da função, temos $$7=2+b^{0+1}\Leftrightarrow b=5.$$ A função que satisfaz as condições do problema é $$y=2+5^{x+1}.$$ \end{enumerate}