Logaritmos
Chama-se logaritmo de $b$ ($b>0$) na base $a$ ($a$ positivo e $a \neq 1$) ao expoente a que é preciso elevar a base $a$ para obter $b$, isto é, $$\log_a{b}=y \Leftrightarrow a^y=b.$$
Em qualquer base $a$,
- $\log_a{1}=0$ porque $a^0=1$;
- $\log_a{a}=1$ porque $a^1=a$;
- $a^{\log_a{b}}=b$: se $\log_a{b}=z$ então $b=a^z$, ou seja, $b=a^{\log_a{b}}$.
- $\log_a{a^y}=y$ atendendo à definição de logaritmo (o número a que é necessário elevar a base $a$ para obter $a^y$).
Diz-se logaritmo neperiano se a base é $e$ (número de Neper) e escrevemos $\ln$ em vez de $\log$, ou seja, $\ln{c}=\log_e{c}$. Neste caso temos $$\ln{1}=0\hspace{1.5cm} \ln{e}=1\hspace{1.5cm} e^{\ln{b}}=b \hspace{1.5cm}\ln{e^y}=y$$
Propriedades
Atendendo às propriedades da exponencial podemos deduzir propriedades para os logaritmos.
\noindent Sejam $u,v>0$, $a>0 \mbox{ e } a\neq 1$, então: \begin{enumerate} \item UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-32-QINU. \begin{small} Se UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-33-QINU e UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-34-QINU, tem-se UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-35-QINU e UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-36-QINU. Como UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-37-QINU temos que UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-3-QINU \end{small} \item UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-38-QINU. \begin{small} Como no caso anterior, UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-39-QINU e portanto UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-40-QINU \end{small} \item UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-41-QINU. \begin{small} Como UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-42-QINU, resulta que UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-43-QINU. \end{small} \item UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-44-QINU (mudança de base). \begin{small} Seja UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-45-QINU. Então, UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-46-QINU e portanto UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-47-QINU, ou seja, UNIQ430f651021cf3ac3-MathJax-4-QINU \end{small} \end{enumerate}
Em particular, para o logaritmo neperiano temos, $$\ln{uv}=\ln{u}+\ln{v} \hspace{1cm}\ln{\frac{u}{v}}=\ln{u}-\ln{v}\hspace{1cm}\ln{u^v}=v\ln{u}\hspace{1cm}\log_a{c}=\frac{\ln{c}}{\ln{a}}$$
\subsubsection*{Exemplo} Usando algumas das propriedades acima referidas temos que:
$$\log_5{\left(\frac{1}{5^3}\right)}=\log_5{1}-\log_5{5^3}=0-3=-3.$$
