Logaritmos
Chama-se logaritmo de $b$ ($b>0$) na base $a$ ($a$ positivo e $a \neq 1$) ao expoente a que é preciso elevar a base $a$ para obter $b$, isto é, $$\log_a{b}=y \Leftrightarrow a^y=b.$$
Em qualquer base $a$,
- $\log_a{1}=0$ porque $a^0=1$;
- $\log_a{a}=1$ porque $a^1=a$;
- $a^{\log_a{b}}=b$: se $\log_a{b}=z$ então $b=a^z$, ou seja, $b=a^{\log_a{b}}$.
- $\log_a{a^y}=y$ atendendo à definição de logaritmo (o número a que é necessário elevar a base $a$ para obter $a^y$).
Diz-se logaritmo neperiano se a base é $e$ (número de Neper) e escrevemos $\ln$ em vez de $\log$, ou seja, $\ln{c}=\log_e{c}$. Neste caso temos $$\ln{1}=0\hspace{1.5cm} \ln{e}=1\hspace{1.5cm} e^{\ln{b}}=b \hspace{1.5cm}\ln{e^y}=y$$
Propriedades
Atendendo às propriedades da exponencial podemos deduzir propriedades para os logaritmos.
Sejam $u,v>0$, $a>0 \mbox{ e } a\neq 1$, então:
- $\log_a{(uv)}=\log_a{u}+\log_a{v}$.
Se $x=\log_a{u}$ e $y=\log_a{v}$, tem-se $a^x=u$ e $a^y=v$. Como $uv=a^x \cdot a^y=a^{x+y}$ temos que $$\log_a{(uv)}=\log_a{a^{x+y}}=x+y=\log_a{u}+\log_a{v}.$$
- $\log_a{(\frac{u}{v})}=\log_a{u}-\log_a{v}$.
Como no caso anterior, $\displaystyle \frac{u}{v}=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ e portanto $\log_a{(\frac{u}{v})}=\log_a{a^{x-y}}=x-y=\log_a{u}-\log_a{v}$
- $\log_a(u^v)=v\log_a{u}$.
Como $\displaystyle a^{v\log_a{u}}=\left(a^{\log_a{u}}\right)^v=u^v$, resulta que $\log_a(u^v)=v\log_a{u}$.
- $\displaystyle \log_a {c}=\frac{\log_b{c}}{\log_b{a}}$ (mudança de base).
Seja $\log_a{c}=y$. Então, $a^y=c$ e portanto $\log_b{a^y}=\log_b{c}\Leftrightarrow y\log_b{a}=\log_b{c}\Leftrightarrow y=\frac{\log_b{c}}{\log_b{a}}$, ou seja, $$y=\log_a{c}=\frac{\log_b{c}}{\log_b{a}}.$$
Em particular, para o logaritmo neperiano temos,
$$\ln{uv}=\ln{u}+\ln{v} \hspace{1cm}\ln{\frac{u}{v}}=\ln{u}-\ln{v}\hspace{1cm}\ln{u^v}=v\ln{u}\hspace{1cm}\log_a{c}=\frac{\ln{c}}{\ln{a}}$$
