Função logarítmica

Chama-se função logarítmica de base $a$, com $a>0$ e $a\neq 1$, à correspondência $$\begin{array}{llll} g: &\mathbb{R^+} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & \log_a{x}, \end{array}$$

A função logarítmica é a inversa da função exponencial, isto é, $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{llll} f: &\mathbb{R} &\longrightarrow & \mathbb{R} \\ & y & \longmapsto & x=a^y \end{array} & \hspace{1cm} & \begin{array}{llll} f^{-1}=g: &\mathbb{R^+} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & y=\log_a{x} \end{array} \end{array} $$ Como o domínio da exponencial é $\mathbb{R}$ e o contradomínio é $\mathbb{R}^+$, o domínio da função logarítmica é $\mathbb{R}^+$, o contradomínio da exponencial, e o contradomínio da função logarítmica é $\mathbb{R}$, o domínio da exponencial. Note-se que, pelas propriedades dos logaritmos, temos $$\left(f^{-1}\circ f\right)(x)=\log_a{a^x}=x \hspace{0.5cm} \mbox{ e }\hspace{0.5cm} \left(f\circ f^{-1}\right)(y)=a^{\log_a{y}}=y.$$

Função logarítmica de base $a$, com $a>1$

Domínio $\mathbb{R}^+$. Contradomínio $\mathbb{R}$. A função tem um único zero em $x=1$. O gráfico de $g$ não intersecta o eixo das ordenadas. É uma função \emph{contínua} em todo o domínio. A função é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e portanto injectiva. Se $x>0$ está próximo de $0$, $g(x)$ toma valores negativos de valor absoluto muito elevado\footnote{Se $a=e$, temos $\ln{0.1}\approx -2.3$, $\ln{10^{-7}}\approx -13.8$, $\ln{10^{-10}}\approx-23.0$, $\ldots$ \\ Se $a=1.1$, $\log_{1.1}{0.1}\approx -24.2$, $\log_{1.1}{10^{-7}}\approx -169.1$, $\ldots$ }. Dizemos que $$\displaystyle \lim_{x\to{0^+} }\log_a x =-\infty ,$$ ou que $x=0$ é uma assímptota vertical ao gráfico de $g$. Se $x$ toma valores muito elevados, isto é, se $x$ tende para $+\infty$, a função $g$ também assume valores muito elevados\footnote{$\ln{10}\approx 2.3$, $\ln{10^{7}}\approx 16.1$, $\ln{10^{10}}\approx 23.0$, $\ldots$ \\ Se $a=1.1$, $\log_{1.1}{10}\approx 24.2$, $\log_{1.1}{10^{7}}\approx 169.1$, $\ldots$}, tende para $+\infty$, e escrevemos $$\displaystyle \lim_{x\to +\infty }\log_a x =+\infty .$$

Função logarítmica de base $a$, com $0<a<1$

\begin{minipage}{5cm}%\centering \begin{pvplot}[name=logd,unit=10mm,build](-.5,5)(-2.5,3) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y] \pvfunct[size=2]{-5*log(x)/3:(0,4.5)->(-2.2,2.7)} \pvpoint[x={}](1,0)[t]{\scriptstyle1} \pvpoint[y=\scriptstyle 1,x=\scriptstyle a,dash](.55,1){} \pvpoint(3,2)[]{y=\log_ax} \pvpoint(3,1)[]{\scriptstyle(0<a<1)} \end{pvplot} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{115mm}%\centering \begin{itemize} \item Domínio UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-51-QINU. Contradomínio UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-52-QINU. \item O gráfico de UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-53-QINU intersecta o eixo das abcissas no ponto UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-54-QINU e não intersecta o eixo das ordenadas. \item A função é \emph{contínua} em todo o domínio. \item A função é estritamente decrescente em UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-55-QINU e portanto injectiva. \item Se UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-56-QINU está próximo de UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-57-QINU, UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-58-QINU toma valores muito elevados. Dizemos que UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-6-QINU ou que UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-59-QINU é uma assímptota vertical ao gráfico de UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-60-QINU. \item Se UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-61-QINU toma valores muito elevados, isto é, se UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-62-QINU tende para UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-63-QINU, a função UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-64-QINU também assume valores muito elevados em módulo, mas negativos, isto é, tende para UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-65-QINU e escrevemos UNIQ4e6c181a7d106ef3-MathJax-7-QINU \end{itemize} \end{minipage}