Definição de limite
Definição de limite
No que se segue considere-se uma função $f:D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $a \in \mathbb{R}$ tal que $D$ \underline{contém um intervalo aberto} de centro em $a$ com possível excepção do ponto $a$.
Diz-se que $f$ tem limite $l \in \mathbb{R}$ quando $x$ tende para $a$ em $D$,
$$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=l,$$
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos
de $D$, distintos de $a$ , que tende para $a$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=a$), a correspondente
sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $l$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=l$).
Exemplo Seja $\displaystyle f(x)\!=\!\frac1{x+1}$ com $D_f\!=\!\mathbb R\!\setminus\!\{-1\}$. Considerando a sucessão $$x_n\!=\!1\!+\!\frac{(-1)^n}n\to1 \mbox{\hspace{4mm} tem-se que \hspace{4mm}}{\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\!\!f(x_n)}=\frac12 .$$ \vspace{0,5cm}
\pvgpline f{f(x)=1/(x+1)}
\pvgpline s{s(x)=1+cos(x*pi)/x}
\begin{pvplot}[pos=c,name=sucx,unit=30mm,xyratio=20:1](-6,33)(-.2,1.7)% \pvaxes[x=\scriptstyle n,y=\scriptstyle x_n]% \pvfunct[add=s,name=sucm,discrete]{x/x*s(x):(0,25)}% \pvpoint[y=\scriptstyle1,ydash](30,1){}% \end{pvplot} \hfill \begin{pvplot}[pos=c,name=sucf,unit=30mm](-.3,2.2)(-.2,1.7)% \pvaxes[x=\scriptstyle x_n,y=\scriptstyle f(x_n)]% \pvfunct[add=f,name=f,dash=.]{f(x):(-.2,1.8)}% \pvfunct[add={f,s},name=sucp,discrete,parametric]{s(t),f(s(t)):(1,25)}% \pvpoint[x=\scriptstyle1,y=\scriptstyle0.5,dash](1,.5){}% \end{pvplot} \vspace{0,5cm}
Contudo, este exemplo não demonstra que ${\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)}=\frac12$, porque foi considerada uma sucessão particular $x_n\!=\!1\!+\!\frac{(-1)^n}n$. Para mostrarmos que ${\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)}= \frac12$ vamos considerar uma sucessão $(x_n)_n$
qualquer, que convirja para 1 e tal que $x_n\in D \setminus \{1\},\; \forall n\in \mathbb{N}$, assim temos
$$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(x_n)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{x_n+1}= \frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$$ Como $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(x_n)$ é independente da sucessão $(x_n)_n$ escolhida, pode garantir-se que ${\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)}=\frac12$.\\ \vspace{0,5cm}
\textbf{Observações:} \begin{enumerate} \item \begin{minipage}[t]{100mm} Pode existir UNIQ554e1f675a490568-MathJax-33-QINU e UNIQ554e1f675a490568-MathJax-34-QINU. Vejamos por exemplo a função UNIQ554e1f675a490568-MathJax-35-QINU definida por UNIQ554e1f675a490568-MathJax-36-QINU, com domínio UNIQ554e1f675a490568-MathJax-37-QINU e UNIQ554e1f675a490568-MathJax-4-QINU {\small Repare-se que UNIQ554e1f675a490568-MathJax-38-QINU. Como se trata do limite quando UNIQ554e1f675a490568-MathJax-39-QINU tende para 1, UNIQ554e1f675a490568-MathJax-40-QINU é efectivamente diferente de UNIQ554e1f675a490568-MathJax-41-QINU.} \end{minipage} \hfill \begin{pvplot}[pos=.7,name=flmnc,unit=12mm](-1.5,2.5)(-.5,3) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y] \pvfunct[add=f,name=f,size=2]{f(x):(-.6,2)} \pvpoint[y=\scriptstyle\frac12,x=\scriptstyle1,dash](1,.5){} \pvpoint[color=white,pt](1,.5)[]{\scriptstyle\circ} \pvpoint(1,1.5)[l]{\scriptstyle g(x)=\frac{\scriptstyle x-1}{\scriptstyle x^2-1}} %\pvpoint(1.01,.44){\vector(-4,1){.1}}\pvpoint(.45,.58){\vector(4,-1){.1}} %\pvpoint(1,-.4){\vector(-1,0){.2}}\pvpoint(.4,-.4){\vector(1,0){.2}} %\pvpoint(-.25,.1){\vector(0,1){.2}}\pvpoint(-.25,.9){\vector(0,-1){.2}} \end{pvplot} \item \begin{minipage}[t]{100mm} O limite da função num ponto não é necessariamente a imagem da função no ponto. Considere-se por exemplo a função, UNIQ554e1f675a490568-MathJax-44-QINU UNIQ554e1f675a490568-MathJax-42-QINU e UNIQ554e1f675a490568-MathJax-43-QINU. \end{minipage} \hfill \begin{pvplot}[pos=0.8,name=flmnc,unit=12mm](-1.5,2.5)(-.5,4) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y,yrange={-.5,3}] \pvfunct[add=f,name=f,size=2]{f(x):(-.6,2)} \pvpoint[x=\scriptstyle1,y=\scriptstyle2,dash,pt](1,2){} %\pvpoint(-.2,2)[]{\scriptstyle2} \pvpoint[y=\scriptstyle\frac12,ydash](1,.5){} %\pvfunct[name=s,discrete]{1+1/x:(0,1.5)} \pvpoint[color=white,pt](1,.5)[]{\circ} \pvpoint(1.5,1.5)[l]{\scriptstyle h(x)} %\pvpoint(1.01,.44){\vector(-4,1){.1}}\pvpoint(.45,.58){\vector(4,-1){.1}} %\pvpoint(1,-.4){\vector(-1,0){.2}}\pvpoint(.4,-.4){\vector(1,0){.2}} %\pvpoint(-.25,.1){\vector(0,1){.2}}\pvpoint(-.25,.9){\vector(0,-1){.2}} \end{pvplot} \end{enumerate}
