Limites infinitos e limites no infinito

Diz-se que $f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $a$ em $D$, $$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty,$$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, distintos de $a$, que tende para $a$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=a$), a correspondente sucessão das imagens

$\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$).\\

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\textbf{Definição:} Diz-se que \textit{\textbf{$f$ tem limite $l$ quando $x$ tende para $+\infty$ em $D$}}, $$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=l,$$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty$), a correspondente sucessão das imagens

$\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $l$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=l$).\\

\vspace{0,5cm}

\textbf{Definição:} Diz-se que \textit{\textbf{$f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $+\infty$ em $D$}}, $$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,$$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty$), a correspondente sucessão das imagens

$\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para
$+\infty$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$).\\

\vspace{0,5cm}

Definem-se de modo análogo $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty$,  $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=l$,
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$,
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ e $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.\\

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Convém sublinhar que $+\infty$ e $-\infty$ não são números reais e quando $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = +\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = -\infty$, diz-se que não existe em $\mathbb{R}$ o limite de $f(x)$

quando $x$ tende para $a$.\\

\subsubsection*{Exercício resolvido} Vejamos que não existe $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\sin x$.\\ Se considerarmos as sucessões $x_n=2n\pi$ e $y_n=2n\pi+\frac{\pi}{2}$, ambas são infinitamente grandes, ou seja, tendem para $+\infty$, no entanto, tem-se: $$\sin(x_n)=\sin(2n\pi)=0\to0$$ e $$\sin(y_n)=\sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1\to1.$$ Se o limite existisse, seria único e portanto qualquer sucessão $(f(x_n))_n$ deveria convergir para esse limite, independentemente da escolha da sucessão $(x_n)_n$.

\vspace{0.1cm} De forma análoga se prova que \textbf{não existem} os seguintes limites:\\ \[ \lim_{x \to -\infty}\sin x, \hspace{5mm} \lim_{x \to +\infty}\cos x, \hspace{5mm} \lim_{x \to -\infty}\cos x, \hspace{5mm} \lim_{x \to +\infty}\tan x, \hspace{5mm} \lim_{x \to -\infty}\tan x. \]