Resolução 9

1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-3}=0$ (porque $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x-3)=+\infty$ e o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo).

2. $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}=?$

Vamos calcular os limites laterais: $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x-3}=-\infty$ (como $x \to 3^-$ tem-se $(x-3)\to 0^-$ e "$\frac{1}{0^-}=-\infty$")

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x-3}=\frac{1}{0^+}=+\infty$ (tem-se $(x-3)\to 0^+$ e "$\frac{1}{0^+}=+\infty$")

Como os limites laterais são diferentes, não existe $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}$.

Para determinarmos se um limite tende para $0$ por valores à direita ($0^+$) ou por valores à esquerda ($0^-$), basta termos em conta o sinal da função à direita e à esquerda de 0. Neste caso a função $y=x-3$ é positiva para valores superiores a 3 e negativa para valores inferiores a 3.

3. $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2-x}=+\infty$ (é ``$\frac{1}{0^+}$ porque a função $y=2-x$ é positiva à esquerda de 2). \item $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1}=-\infty$ (é ``$\frac{1}{0^-}$ porque a função $y=x^2-1$ é negativa para valores à direita de $-1$ que estão próximos de $-1$. O gráfico da função $y=x^2-1$ é uma parábola com a concavidade voltada para cima). \item $\displaystyle \lim_{x \to 2} \ln(x-2)=\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \ln(x-2)=-\infty$\\ (Note-se que função só está definida à direita de 2 e ``$\ln(0^+)=-\infty$). \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}=?$\\ \vspace{0,1cm} Vamos determinar os limites laterais quando $x$ tende para $0$:\\ $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}}=+\infty$ \qquad($\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$ e ``$e^{+\infty}=+\infty$)\\ $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}}=0$ \qquad($\displaystyle \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$ e ``$e^{-\infty}=0$)\\ Como os limites laterais são diferentes, não existe $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$. \end{enumerate}