Exemplos 8

Determine as equações das assímptotas ao gráfico de cada uma das funções: 1. $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ 2. $g(x)=(x+1)e^{\frac{1}{x}}$

Resolução \begin{enumerate} \item $\DS \lim_{x \to 1^{-}} f(x)=-\infty$ e $\DS \lim_{x \to 1^{+}} f(x)=+\infty$,\\

logo a recta $x=1$ é assímptota vertical ao gráfico de $f$.\\

\vspace{0,2cm}

$m=\DS \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}=\DS \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+1}{x^2-x}=0$ e $b=\DS \lim_{x \to\pm\infty} f(x)=1$, logo a recta $y=1$ é assímptota horizontal bilateral ao gráfico de $f$.\\

\item $\DS \lim_{x \to 0^{+}} g(x)=+\infty$ e $\DS \lim_{x \to 0^{-}} g(x)=0$, logo $x=0$ é assímptota vertical.\\

\vspace{0,2cm} $m=\DS \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x}= \DS \lim_{x \to \pm\infty} \frac{(x+1)e^{\frac{1}{x}}}{x}= \DS \lim_{x \to \pm\infty} \left[\left(1+\frac{1}{x}\right)e^{\frac{1}{x}}\right]=1$\\

\vspace{0,2cm} $ \begin{aligned} b=\DS \lim_{x \to +\infty}\left(g(x)-x\right)&= \DS \lim_{x \to \pm\infty}\left((x+1)e^{\frac{1}{x}}-x\right)= \DS \lim_{x \to \pm\infty}\left((x+1)e^{\frac{1}{x}}-(x+1)+1\right)\\&= \DS \lim_{x \to \pm\infty}\left[(x+1)(e^{\frac{1}{x}}-1)\right]+1= \DS \lim_{x \to \pm\infty}\left[\frac{x+1}{x}\cdot \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}\right]+1=1 \cdot 1+1=2\end{aligned} $\\

\vspace{0,2cm}

A recta $y=x+2$ é assímptota oblíqua bilateral ao gráfico de $g$.