Exemplos 11

Exemplo 1

Considere a sucessão de termo geral $u_n=(-1)^n$.

1. Calcule os primeiros termos da sucessão.

2. Mostre que todos os termos de ordem par são positivos. 3. Esboce o gráfico da sucessão.

Resolução

1. Substituindo no termo geral $n$ por $1$, obtemos $$u_1=(-1)^1=-1.$$ Logo o primeiro termo é $-1$. Para determinar o segundo termo, substituímos $n$ por $2$. Assim sendo, $$u_2=(-1)^2=1.$$ Repetindo o processo, os primeiros termos da sucessão dada são $$-1,1,-1,1,-1,1,-1, \ldots$$

2. Se $n$ é um número par, então pode ser escrito na forma $n=2k$, para algum $k \in \mathbb{N}$. Portanto $$u_n=u_{2k}=(-1)^{2k}=((-1)^2)^k=1^k=1$$ que é positivo.

3. O gráfico da sucessão é

Exemplo 2

Dada a sucessão real $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definida por $\DS a_n=\frac{2n-9}{n+3}$, \begin{description} \item[(a)]{Determine o termo de ordem UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-19-QINU.} \item[(b)]{Averigúe se UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-20-QINU é termo da sucessão.} \item[(c)]{Mostre que, se UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-21-QINU, então UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-22-QINU.} \end{description} \textbf{Resolução:} \begin{description} \item[(a)]{Basta substituir UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-23-QINU por UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-24-QINU no termo geral: UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-5-QINU Logo o UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-25-QINU termo é UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-26-QINU.} \item[(b)]{Pretende-se saber se existe UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-27-QINU tal que UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-28-QINU. Para tal, devemos resolver a equação UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-6-QINU Então UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-7-QINU Como UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-29-QINU, a equação anterior é impossível em UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-30-QINU e concluímos que UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-31-QINU não é termo da sucessão.} \item[(c)]{Se UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-32-QINU, então UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-33-QINU e UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-34-QINU. Logo, para UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-35-QINU, as expressões UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-36-QINU e UNIQ437f6f181d1106a6-MathJax-37-QINU são positivas e atendendo a que o quociente de dois números positivos é ainda um número positivo, provámos o pretendido.} \end{description}