Sucessões monótonas

Sucessões monótonas

Seja $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sucessão real. A sucessão é monótona

• crescente se $a_{n+1}-a_n \geq 0$, para todo $n \in \mathbb{N}$;
• decrescente se $a_{n+1}-a_n \leq 0$, para todo $n \in \mathbb{N}$;
• estritamente crescente se $a_{n+1}-a_n > 0$, para todo $n \in \mathbb{N}$;
• estritamente decrescente se $a_{n+1}-a_n < 0$, para todo $n \in \mathbb{N}$.

Por exemplo, a sucessão $a_n=1/n$ é estritamente decrescente, uma vez que $$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{n(n+1)}<0,$$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

Observemos que toda a sucessão estritamente crescente (respetivamente "estritamente decrescente") é crescente (respetivamente "decrescente"). Uma sucessão constante, por exemplo $u_n=4$, é simultaneamente crescente e decrescente, sendo portanto monótona.

Exemplos

Estude a monotonia das sucessões de termo geral: \begin{description} \item[(a)]{UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-17-QINU.} \item[(b)]{UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-18-QINU.} \item[(c)]{UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-19-QINU.} \item[(d)]{UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-20-QINU.} \item[(e)]{UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-21-QINU} \end{description} \textbf{Resolução:} \begin{description} \item[(a)]{Devemos estudar o sinal de UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-22-QINU. Como UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-23-QINU, então UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-24-QINU. Logo, UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-25-QINU, e portanto a sucessão é monótona crescente.} \item[(b)]{Devemos estudar novamente o sinal de UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-26-QINU: UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-2-QINU UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-3-QINU uma vez que, como UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-27-QINU, então UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-28-QINU e UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-29-QINU. Logo UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-30-QINU é monótona decrescente.} \item[(c)]{Como UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-31-QINU e esta expressão toma valores positivos ou negativos\footnote{Por exemplo, se UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-32-QINU, UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-33-QINU, e UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-34-QINU; mas se UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-35-QINU, então UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-36-QINU e portanto UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-37-QINU.}, dependendo do valor de UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-38-QINU, concluímos que a sucessão dada não é monótona.} \item[(d)]{Atendendo a que UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-39-QINU, UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-40-QINU e UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-41-QINU, então UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-42-QINU e UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-43-QINU. Portanto a sucessão é não monótona.} \item[(e)]{Uma vez que UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-4-QINU e UNIQ2877d59543f3cc14-MathJax-44-QINU é sempre positivo, concluímos que a sucessão dada é monótona crescente.} \end{description}