Exemplos-17
Exemplos
Considere-se a seguinte inequação $(x-4)(x+1)>0$.
Resolver esta inequação é determinar os valores de $x$ para os quais o produto de $x-4$ por $x+1$ é positivo. Atendendo a que o produto de dois factores só é positivo se ambos tiverem o mesmo sinal, pode-se concluir que os valores de $x$ são os que verificam as condições \begin{eqnarray*} (x-4)(x+1)>0 & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x-4>0 \\ x+1>0 \\ \end{array} \right. \lor \left\{ \begin{array}{l} x-4<0 \\ x+1<0 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x>4 \\ x>-1 \\ \end{array} \right. \lor \left\{ \begin{array}{l} x<4 \\ x<-1 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow & x>4 \lor x<-1 \end{eqnarray*}
Uma forma mais simples para a resolução deste tipo de inequações é a construção de uma tabela. O primeiro membro da inequação $(x-4)(x+1)>0$ tem dois fatores. O que se pretende é colocar numa tabela os intervalos em que cada um dos factores é positivo ou negativo.
Os valores que se têm de colocar nas colunas são os valores para os quais cada fator se anula, por ordem crescente. Os fatores anulam-se para $4$ e $-1$, respetivamente. Assinala-se o sinal que cada fator toma em cada intervalo. Assim a tabela tem a forma
| $-1$ | $4$ | ||||
| $x-4$ | $\hspace{3mm} - \hspace{3mm}$ | $-5$ | $\hspace{3mm} - \hspace{3mm} $ | $0$ | $\hspace{3mm} +\hspace{3mm} $ |
| $x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $5$ | $+$ |
| $(x-4)(x+1)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
A última linha é preenchida atendendo à regra dos sinais.
Regra dos Sinais:
- Um produto é positivo se o número de factores negativos é par
- Um produto é negativo se o número de factores negativos é ímpar
Assim
\[
(x-4)(x+1)>0 \Leftrightarrow x<-1 \lor x>4,
\]
ou seja, o conjunto solução da inequação é $]-\infty,-1[\cup]4,+\infty[$.
Se se pretende resolver a inequação $(x-4)(x+1)\le0$, basta observar de novo o quadro e concluir que \[ (x-4)(x+1)\le0 \Leftrightarrow -1\le x \le4 \]
Outro exemplo
Considere-se a seguinte inequação \[ \frac{x-3}{4-x}\le1 \]
Resolver uma inequação reduz-se ao problema de determinar o sinal de uma expressão. Assim, tem que se colocar o segundo membro da inequação a zero e depois transformar o primeiro membro num produto/quociente de expressões.
\begin{align*} \frac{x-3}{4-x}\le1 & \Leftrightarrow \frac{x-3}{4-x}-1\le0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{x-3}{4-x}-\frac{4-x}{4-x}\le0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{x-3-4+x}{4-x}\le0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{2x-7}{4-x}\le 0 & \end{align*}
Os fatores ${2x-7}$ e ${4-x}$ anulam-se respetivamente em $\displaystyle x=\frac{7}{2}$ e $x=4$. Assim a tabela tem a forma
| $\frac{7}{2}$ | $4$ | ||||
| $2x-7$ | $\hspace{3mm} - \hspace{3mm}$ | $0$ | $\hspace{3mm} + \hspace{3mm} $ | $1$ | $\hspace{3mm} +\hspace{3mm} $ |
| $4-x$ | $+$ | $\frac{ 1}{2}$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $\frac{ 2x-7}{4-x}$ | $-$ | $0$ | $+$ | S/S | $-$ |
Note-se que, quando $x=4$, o denominador anula-se e a inequação não faz sentido e, por isso, é usual escrever-se $S/S$, que significa Sem Significado.
Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fração. Assim o conjunto solução é $\displaystyle \left]-\infty,\frac{7}{2}\right] \cup ]4,+\infty[$.
