Definição de limite
Definição de limite
No que se segue considere-se uma função $f:D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $a \in \mathbb{R}$ tal que $D$ \underline{contém um intervalo aberto} de centro em $a$ com possível excepção do ponto $a$.
Diz-se que $f$ tem limite $l \in \mathbb{R}$ quando $x$ tende para $a$ em $D$,
$$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=l,$$
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos
de $D$, distintos de $a$ , que tende para $a$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=a$), a correspondente
sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $l$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=l$).
Observações:
- Pode existir $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)$ e $a\notin D_g$. Vejamos por exemplo a função $g$ definida por $g(x)=\frac{x-1}{x^2-1}$, com domínio $D_g=\mathbb R\setminus\{1,-1\}$ e
$$\displaystyle\lim_{x\to 1}g(x)= \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-1}= \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}=\frac12.$$
Repare-se que $\displaystyle \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1} \wedge x \neq 1$. Como se trata do limite quando $x$ tende para 1, $x$ é efectivamente diferente de $1$.
- O limite da função num ponto não é necessariamente a imagem da função no ponto. Considere-se por exemplo a função,
| \[ h(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac1{x+1}&\text{se }x\ne1\\ & \\ 2&\text{se }x=1, \end{cases} \] |
$\displaystyle\lim_{x\to 1}h(x)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}=\frac12$ e $h(1)=2$. ||
|
