Exemplos 23
Exemplo 1
Determine a derivada da inversa da função definida por $f(x)=\sqrt x$.
Resolução
A função $f(x)=\sqrt x$ é invertível e tem derivada $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$ não nula no intervalo $I=]0,+\infty[$. Portanto, a sua inversa é derivável em $f(]0,+\infty[)=]0,+\infty[$ e \[ \forall y\in]0,+\infty[,\; (f^{-1})'(y)=\displaystyle \frac1{\displaystyle \frac{1}{2y}}=2y. \]
Exemplo 2
Considere a função $f:\mathbb{R} \to\mathbb{R}$, definida por $f(x)=5x^7+6x^3+x+9$. Sabendo que $f$ é invertível e $f(-1)=-3$, determine $(f^{-1})'(-3)$.
Resolução
A função $f$ é uma função invertível e tem derivada $f'(x)=35x^6+18x^2+1$ não nula em $\mathbb{R}$. Assim, a inversa de $f$ é derivável em $\mathbb{R}$ e $$(f^{-1})'(-3)=\frac{1}{f'(f^{-1}(-3))}$$ De $f(-1)=-3$ resulta que $f^{-1}(-3)=-1$, logo $$(f^{-1})'(-3)=\frac{1}{f'(-1)}=\frac{1}{54}.$$
