Outros exemplos
Seja $f$ a função definida por $f(x)=|x^2-3x+2|$.
- Reescreva a expressão analítica de $f$ sem usar o símbolo $|\ |$.
- Determine o conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$ por forma a que a proposição "$f(x)<1, \mbox{ se e só se } x \in A$" seja verdadeira.
Resolução:
Comecemos por analisar o sinal de $x^2-3x+2$. $$x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}\Leftrightarrow x=2 \vee x=1. \mbox{ Assim, }x^2-3x+2=(x-2)(x-1).$$ O produto será positivo se os dois factores tiverem o mesmo sinal e negativo se os factores tiverem sinais contrários. Então: $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} &\hspace{1cm} & 1 & \hspace{1cm} & 2 & \hspace{1cm} \\ \hline x-1 & - & 0 & + & + & + \\ \hline x-2 & - & - & - & 0 & + \\ \hline (x-1)(x-2)& + & 0 & - & 0 & + \\ \end{array}$$
$$\begin{array}{c} x^2-3x+2=(x-2)(x-1) > 0 \mbox{ se } x \in ]- \infty , 1 [ \cup ]2, + \infty[ \\ \mbox{ e } \\ x^2-3x+2=(x-2)(x-1) < 0 \mbox{ se } x \in ]1,2[ \end{array}$$ Podemos agora definir a função $f$ por ramos da seguinte forma: $$f(x)= \left \{ \begin{array}{lll} x^2-3x+2 & \mbox{ se } & x \leq 1 \vee x > 2 \\ & & \\ -x^2+3x-2 & \mbox{ se } & 1 < x \leq 2 \\ \end{array} \right.$$ Repare que $f(1)=f(2)=0$ sendo portanto indiferente calcular o valor da função nestes pontos num ou noutro ramo.
Pretende-se determinar o conjunto $$A =\{x \in \mathbb{R}: |x^2-3x+2|<1 \}=\{x \in \mathbb{R}: -1<x^2-3x+2<1 \}$$ Resolvendo as duas inequações temos: $$\begin{array}{l||l} -1<x^2-3x+2\Leftrightarrow x^2-3x+3 > 0 & x^2-3x+2<1\Leftrightarrow x^2-3x+1<0 \\ & \\ \mbox{A equação }x^2-3x+3 = 0 \mbox{ não tem raízes } & \mbox{A equação }x^2-3x+1 = 0 \mbox{ admite as raízes } \\ \mbox{reais.}&\displaystyle x= \frac{3-\sqrt{5}}{2} \mbox{ e } x= \frac{3+\sqrt{5}}{2}.\\ \mbox{Portanto }x^2-3x+3 > 0, \forall x \in \mathbb{R} & \mbox{Portanto }x^2-3x+1 < 0, \forall x \in \displaystyle \left ] \frac{3-\sqrt{5}}{2} , \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right[\\ \end{array}$$
O conjunto $A $ é a interseção dos conjuntos solução das duas inequações, $$A=\mathbb{R}\cap \displaystyle \left ] \frac{3-\sqrt{5}}{2} , \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right[ = \displaystyle \left ] \frac{3-\sqrt{5}}{2} , \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$$
