Sucessões definidas por recorrência
Sucessões definidas por recorrência
Uma sucessão pode ser definida por recorrência, i.e., são dados o(s) primeiro(s) termo(s) da sucessão e alguma lei que nos permite determinar os restantes. Por exemplo, a sucessão $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dada por $$\left\{ \begin{array}{ll} a_1=4 & \\ a_2=1 & \\ a_{n+2}=a_n+a_{n+1}, & n \in \mathbb{N}\\ \end{array} \right. $$ está definida por recorrência. Quais são os termos desta sucessão? O primeiro e segundo são, respetivamente, $4$ e $1$, conforme é indicado. Para determinarmos os restantes olhemos para a terceira expressão: $$a_{n+2}=a_n+a_{n+1}.$$ Esta expressão indica que cada termo é soma dos dois termos que o antecedem. Por exemplo, o terceiro termo é (substituindo na expressão anterior $n$ por $1$) $$a_3=a_1+a_2=4+1=5.$$ O quarto termo é (substituindo agora $n=2$) $$a_4=a_2+a_3=1+5=6$$ e assim sucessivamente $$a_5=a_3+a_4=5+6=11,$$ $$a_6=a_4+a_5=6+11=17,$$ $$\ldots$$
