Progressões aritméticas e geométricas
Progressões aritméticas
Seja $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sucessão. Dizemos que a sucessão é uma progressão aritmética de razão $r \in \mathbb{R}$ se a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos da sucessão é constante, i.e., $$a_{n+1}-a_n=r, \forall n \in \mathbb{N}.$$
Por exemplo, a sucessão $u_n=2n-3$ é uma progressão aritmética de razão 2 pois $u_{n+1}-u_n=2$.
A sucessão de termo geral $v_n=1/n$ não representa uma progressão aritmética porque $v_{n+1}-v_n$ não é constante (a diferença depende de n).
Da definição decorre que uma progressão aritmética é sempre monótona, sendo crescente ou decrescente consoante $r$ é não
negativo ou não positivo, respetivamente.
O termo geral de uma progressão aritmética $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de razão $r$ é $$a_n=a_1+(n-1)r$$
Logo, se conhecermos o primeiro termo da progressão e a razão, podemos determinar o seu termo geral.
Dada uma sucessão $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, definimos $S_1,S_2, S_3, \ldots , S_n$ como sendo
$$\begin{array}{ll}
S_1= & a_1\\
S_2= & a_1+a_2\\
S_3= & a_1+a_2+a_3\\
& \vdots\\
S_n= & a_1+a_2+a_3+ \ldots + a_n\\
\end{array}$$
$S_n$ representa a soma dos $n$ primeiros termos da sucessão $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Se $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma progressão aritmética, então $\displaystyle S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n.$
Podemos generalizar esta fórmula para o caso seguinte: supor que pretendíamos calcular a soma dos termos consecutivos da sucessão: $$a_k+a_{k+1}+a_{k+2}+ \ldots + a_n, \hspace{.5cm} k \leq n.$$ Neste caso viria $$a_k+a_{k+1}+a_{k+2}+ \ldots + a_n=\frac{a_k+a_n}{2}\underbrace{(n-k+1)}_{\mbox{número de termos}}.$$
Notação: $\displaystyle \sum_{i=k}^n a_i =a_k+a_{k+1}+a_{k+2}+ \ldots + a_n$.
Exemplos Exercícios resolvidos
Progressões geométricas
Seja $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sucessão. Dizemos que a sucessão é uma progressão geométrica de razão $r \not= 0$ se o quociente entre quaisquer dois termos consecutivos é constante, i.e.,$$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=r, \forall n \in \mathbb{N}.$$
O termo geral de uma progressão geométrica $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de razão $r$ é dado por $a_n=a_1r^{n-1}$.
Se $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma progressão geométrica, então $\displaystyle S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$, para $r \not= 1$.
De um modo geral,
$$\displaystyle \sum_{i=k}^n a_i =a_k\frac{1-r^{n-k+1}}{1-r}.$$
