Progressões aritméticas - Resolução 2
1. Como $\displaystyle u_n=\frac{1}{5} \, n + \frac{9}{5}$, vem $$\displaystyle u_{n+1}=\frac{1}{5}(n+1) + \frac{9}{5}=\frac{1}{5} n + \frac{1}{5} + \frac{9}{5} =\frac{1}{5} \, n + 2.$$
De modo análogo, $$v_{n+1}=\frac{5(n+1)+ 6}{-4(n+1) - 5}=\frac{5 n + 11 }{-4 n - 9}.$$
2. A sucessão de termo geral $u_n$ é uma progressão aritmética se $u_{n+1}-u_n$ for constante para todo $n\in \mathbb{N}$. Como $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{5} \, n + 2-\left(\frac{1}{5} \, n + \frac{9}{5} \right)=2-\frac{9}{5}=\frac{1}{5},$$ conclui-se que a sucessão dada é uma progressão aritmética de razão $\displaystyle \frac{1}{5}$.
Procedendo de modo análogo para a sucessão de termo geral $v_n$, vem $$v_{n+1}-v_n=\frac{5 n + 11 }{-4 n - 9}-\frac{5 n + 6}{-4 n - 5}=-\frac{1}{{\left(4 \, n + 5\right)} {\left(4 \, n + 9\right)}}.$$
Como $v_{n+1}-v_n$ depende de $n$, conclui-se que a sucessão de termo geral $v_n$ não é progressão aritmética.
