Função exponencial
Chama-se função exponencial de base $a$, com $a>0 \mbox{ e } a\neq 1$, à
correspondência
$$\begin{array}{llll} f: &\mathbb{R} & \longrightarrow &
\mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & a^x,
\end{array}$$
Quando é referida função exponencial sem especificar a base, subentende-se que a base é $e$ e a função é dada por $f(x)=e^x$.
O número de Neper $e=2.7182818284590452353602874713527\ldots$ é um número irracional que é obtido como o limite da sucessão $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$.
Vejamos alguns exemplos de exponenciais e calculemos alguns valores para estas funções:
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & f(x)=e^x & f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x & f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^x & f(x)=5^x & f(x)=1.4^x \\ \hline x=0 &1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline x=1 & e\approx 2.7 & \frac{1}{2} & \frac{1}{5}& 5 & 1.4 \\ \hline x=-1 & \frac{1}{e}\approx 0.4 & 2 & 5& \frac{1}{5} & \frac{1}{1.4} \approx 0.7 \\ \hline x=2 & e^2\approx 7.4 & \frac{1}{4}& \frac{1}{25} & 25 & 1.96 \\ \hline x=-2& \frac{1}{e^2}\approx 0.14 & 4 & 25& \frac{1}{25} & \frac{100}{196}\approx 0.5 \\ \hline x=10 & e^{10} \approx 22026.5 & \frac{1}{1024}\approx 10^{-3} & \frac{1}{9765625} \approx 10^{-7} & 9765625 & \approx 28.9\\ \hline x=-10 & \frac{1}{e^{10}}\approx 4,5\times 10^{-5}& 1024 &9765625 & \frac{1}{9765625} \approx 10^{-7} & \approx 0.03\\ \end{array}$$
Repare-se que se a base é menor do que 1, por exemplo, $\displaystyle f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x $ e $\displaystyle f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^x$, a função é decrescente e se a base é maior do que 1 a função é crescente.
Observe-se ainda que quanto maior é a base nos casos $a>1$ mais rápido é o crescimento e nos casos $0<a<1$ mais lento é o decaimento.
