Função logarítmica

Chama-se função logarítmica de base $a$, com $a>0$ e $a\neq 1$, à correspondência $$\begin{array}{llll} g: &\mathbb{R^+} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & \log_a{x}, \end{array}$$

A função logarítmica é a inversa da função exponencial, isto é, $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{llll} f: &\mathbb{R} &\longrightarrow & \mathbb{R} \\ & y & \longmapsto & x=a^y \end{array} & \hspace{1cm} & \begin{array}{llll} f^{-1}=g: &\mathbb{R^+} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & y=\log_a{x} \end{array} \end{array} $$ Como o domínio da exponencial é $\mathbb{R}$ e o contradomínio é $\mathbb{R}^+$, o domínio da função logarítmica é $\mathbb{R}^+$, o contradomínio da exponencial, e o contradomínio da função logarítmica é $\mathbb{R}$, o domínio da exponencial. Note-se que, pelas propriedades dos logaritmos, temos $$\left(f^{-1}\circ f\right)(x)=\log_a{a^x}=x \hspace{0.5cm} \mbox{ e }\hspace{0.5cm} \left(f\circ f^{-1}\right)(y)=a^{\log_a{y}}=y.$$

Função logarítmica de base $a$, com $a>1$

Domínio $\mathbb{R}^+$. Contradomínio $\mathbb{R}$. A função tem um único zero em $x=1$. O gráfico de $g$ não intersecta o eixo das ordenadas. É uma função contínua em todo o domínio. A função é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e portanto injetiva. Se $x>0$ está próximo de $0$, $g(x)$ toma valores negativos de valor absoluto muito elevado. Dizemos que $$\displaystyle \lim_{x\to{0^+} }\log_a x =-\infty ,$$ ou que $x=0$ é uma assímptota vertical ao gráfico de $g$. Se $x$ toma valores muito elevados, isto é, se $x$ tende para $+\infty$, a função $g$ também assume valores muito elevados tende para $+\infty$, e escrevemos $$\displaystyle \lim_{x\to +\infty }\log_a x =+\infty .$$

Observe-se que:

• se $a=e$, temos $\ln{0.1}\approx -2.3$, $\ln{10^{-7}}\approx -13.8$, $\ln{10^{-10}}\approx-23.0$, $\ldots$.
• se $a=1.1$, $\log_{1.1}{0.1}\approx -24.2$, $\log_{1.1}{10^{-7}}\approx -169.1$, $\ldots$.
• $\ln{10}\approx 2.3$, $\ln{10^{7}}\approx 16.1$, $\ln{10^{10}}\approx 23.0$, $\ldots$.
• $\log_{1.1}{10}\approx 24.2$, $\log_{1.1}{10^{7}}\approx 169.1$, $\ldots$.

Função logarítmica de base $a$, com $0<a<1$

Domínio $\mathbb{R}^+$. Contradomínio $\mathbb{R}$. O gráfico de $g$ intersecta o eixo das abcissas no ponto $(1,0)$ e não intersecta o eixo das ordenadas. A função é \emph{contínua} em todo o domínio. A função é estritamente decrescente em $\mathbb{R}$ e portanto injetiva. Se $x>0$ está próximo de $0$, $g(x)$ toma valores muito elevados. Dizemos que $$\displaystyle \lim_{x\to{0^+} }\log_a x =+\infty ,$$ ou que $x=0$ é uma assímptota vertical ao gráfico de $g$. Se $x$ toma valores muito elevados, isto é, se $x$ tende para $+\infty$, a função $g$ também assume valores muito elevados em módulo, mas negativos, isto é, tende para $-\infty$ e escrevemos $$\displaystyle \lim_{x\to+\infty }\log_a x =-\infty.$$

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