Equações com módulos

Equações com Módulos

Resolução de equações tipo $\left\vert f(x) \right\vert = g(x)$

Note-se que se $g(x)<0$, a equação $\vert f(x) \vert = g(x)$ é impossível em $\mathbb{R}$. Se $g(x)\ge 0$ a equação é equivalente a $$ \vert f(x) \vert = g(x) \Leftrightarrow \left[ f(x)=g(x) \lor f(x)=-g(x)\right]$$

Exemplo 1

Pretende-se determinar o conjunto solução da equação $\vert x-3\vert =8$. \begin{eqnarray*} \vert x-3\vert=8 & \Leftrightarrow & \left(x-3=8 \lor x-3=-8\right) \land \underbrace{8\ge 0}_{\V} \\ & \sse & x=11 \lor x=-5 \end{eqnarray*} Recorde-se que $\V\land{\cal C}\Leftrightarrow {\cal C}$, qualquer que seja a condição $\cal C$.

Logo o conjunto solução é $\{-5,11\}$.

Exemplo 2

Considere-se a equação $\vert 5x+4\vert =-2$. É fácil verificar que se trata de uma equação impossível pois uma distância nunca pode ser negativa. De facto, \[ \vert 5x+4\vert=-2 \Leftrightarrow \left(5x+4=-2 \lor 5x+4=2\right) \land \underbrace{-2\ge 0}_{\F} \] pois $\F\land{\cal C}\Leftrightarrow\F$, qualquer que seja a condição $\cal C$. Donde a equação é impossível e, portanto, o conjunto solução é $\emptyset$.

Exemplo 3

Pretende-se determinar o conjunto solução da equação $\vert 2x-1\vert =3x+4$.

Sabe-se que \begin{eqnarray*} \vert 2x-1\vert =3x+4 & \Leftrightarrow & \left[2x-1=3x+4 \lor 2x-1=-(3x+4)\right] \land 3x+4\ge 0 \\ & \sse & \left(2x-3x=4+1 \lor 2x+3x=-4+1\right) \land 3x+4\ge 0 \\ & \sse & \left( x=-5 \lor x=-\frac{3}{5}\right) \land x\ge -\frac{4}{3} \\ & \sse & x=-\frac{3}{5} \end{eqnarray*} Note-se que $\displaystyle -5<-\frac{4}{3}$. Portanto, o conjunto solução da equação dada é $\displaystyle \left\{-\frac{3}{5}\right\}$.

Outro caso em que também se pode usar a técnica do ``elevar ao quadrado ambos os membros", é nas equações que envolvem dois módulos. Nestas situações não se inserem novas soluções, ou seja, as soluções obtidas depois de se elevar ao quadrado ambos os membros são as mesmas da equação inicial.

Resolução de equações do tipo $\vert f(x) \vert = \vert g(x) \vert$

$$\displaystyle \vert f(x)\vert = \vert g(x)\vert \Leftrightarrow [f(x)]^2 = [g(x)]^2$$

Exemplo

Considere-se a equação $\displaystyle \vert x-4\vert=\frac{1}{2}\vert2x-1\vert$. Elevando ambos os membros ao quadrado obtém-se \begin{align*} \vert x-4\vert=\frac{1}{2}\vert2x-1\vert & \Leftrightarrow (x-4)^2=\left(\frac{1}{2}(2x-1)\right)^2 & \\ & \Leftrightarrow x^2-8x+16=\frac{1}{4}(4x^2-4x+1) & \\ & \Leftrightarrow x^2-8x+16=x^2-x+\frac{1}{4} & \\ & \Leftrightarrow x^2-8x+16-x^2+x-\frac{1}{4}=0 & \\ & \Leftrightarrow -7x+\frac{63}{4}=0 \sse -7x=-\frac{63}{4} & \\ & \Leftrightarrow x=\frac{63}{28}. & \end{align*}

Exercícios Propostos

Determine, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes equações.

1. $3\vert x+1\vert-2=-11$
2. $\vert 3x-2 \vert+3=7$
3. $\vert 5x-1 \vert=6x$ & (d) $\vert x+1 \vert-2x=8x+3$
4. $\vert x-2\vert =\vert x+5\vert$ & (f) $\vert x+1 \vert-2\vert x-3\vert=0$