Equações com módulos

Equações com Módulos

Resolução de equações tipo $\left\vert f(x) \right\vert = g(x)$

Note-se que se $g(x)<0$, a equação $\vert f(x) \vert = g(x)$ é impossível em $\mathbb{R}$. Se $g(x)\ge 0$ a equação é equivalente a $$ \vert f(x) \vert = g(x) \Leftrightarrow \left[ f(x)=g(x) \lor f(x)=-g(x)\right]$$

Exemplo 1

Pretende-se determinar o conjunto solução da equação $\vert x-3\vert =8$. \begin{eqnarray*} \vert x-3\vert=8 & \Leftrightarrow & \left(x-3=8 \lor x-3=-8\right) \land \underbrace{8\ge 0}_{V} \\ & \Leftrightarrow & x=11 \lor x=-5 \end{eqnarray*} Recorde-se que $V\land{\cal C}\Leftrightarrow {\cal C}$, qualquer que seja a condição $\cal C$. Logo o conjunto solução é $\{-5,11\}$.

Exemplo 2

Considere-se a equação $\vert 5x+4\vert =-2$. É fácil verificar que se trata de uma equação impossível pois uma distância nunca pode ser negativa. De facto, \[ \vert 5x+4\vert=-2 \Leftrightarrow \left(5x+4=-2 \lor 5x+4=2\right) \land \underbrace{-2\ge 0}_{\F} \] pois $\F\land{\cal C}\Leftrightarrow\F$, qualquer que seja a condição $\cal C$. Donde a equação é impossível e, portanto, o conjunto solução é $\emptyset$.

Exemplo 3

Pretende-se determinar o conjunto solução da equação $\vert 2x-1\vert =3x+4$.

Sabe-se que \begin{eqnarray*} \vert 2x-1\vert =3x+4 & \Leftrightarrow & \left[2x-1=3x+4 \lor 2x-1=-(3x+4)\right] \land 3x+4\ge 0 \\ & \Leftrightarrow & \left(2x-3x=4+1 \lor 2x+3x=-4+1\right) \land 3x+4\ge 0 \\ & \Leftrightarrow & \left( x=-5 \lor x=-\frac{3}{5}\right) \land x\ge -\frac{4}{3} \\ & \Leftrightarrow & x=-\frac{3}{5} \end{eqnarray*} Note-se que $\displaystyle -5<-\frac{4}{3}$. Portanto, o conjunto solução da equação dada é $\displaystyle \left\{-\frac{3}{5}\right\}$.

Resolução de equações do tipo $\vert f(x) \vert = \vert g(x) \vert$

$$\displaystyle \vert f(x)\vert = \vert g(x)\vert \Leftrightarrow [f(x)]^2 = [g(x)]^2$$

Exemplo

Considere-se a equação $\displaystyle \vert x-4\vert=\frac{1}{2}\vert2x-1\vert$. Elevando ambos os membros ao quadrado obtém-se \begin{align*} \vert x-4\vert=\frac{1}{2}\vert2x-1\vert & \Leftrightarrow (x-4)^2=\left(\frac{1}{2}(2x-1)\right)^2 & \\ & \Leftrightarrow x^2-8x+16=\frac{1}{4}(4x^2-4x+1) & \\ & \Leftrightarrow x^2-8x+16=x^2-x+\frac{1}{4} & \\ & \Leftrightarrow x^2-8x+16-x^2+x-\frac{1}{4}=0 & \\ & \Leftrightarrow -7x+\frac{63}{4}=0 \sse -7x=-\frac{63}{4} & \\ & \Leftrightarrow x=\frac{63}{28}. & \end{align*}

Exercícios Propostos

Determine, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes equações.

1. $3\vert x+1\vert-2=-11$
2. $\vert 3x-2 \vert+3=7$
3. $\vert 5x-1 \vert=6x$ & (d) $\vert x+1 \vert-2x=8x+3$
4. $\vert x-2\vert =\vert x+5\vert$ & (f) $\vert x+1 \vert-2\vert x-3\vert=0$