Inequações do 2º grau
Inequações do 2º grau
O gráfico da função $f(x)=ax^2+bx+c$, com $a\neq0$, é uma parábola. Se $a<0$ a concavidade da parábola é voltada para baixo e se $a>0$ a concavidade é voltada para cima.
Resolver a inequação $ax^2+bx+c > 0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função $f$ é positiva, isto é, o gráfico da função fica acima do eixo dos $xx$.
Analogamente, resolver a inequação $ax^2+bx+c<0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função é negativa, ou seja, o gráfico da função fica abaixo do eixo dos $xx$.
As soluções deste tipo de inequações dependem do valor de $a$ e da posição do vértice da parábola correspondente à inequação tal como ilustram as tabelas seguintes. Recorde-se que a ordenada do vértice é dada por $y_v=\displaystyle -\frac{\Delta}{4a}$ e a abcissa é $\displaystyle x_v=-\frac{b}{2a}$, com $\Delta = b^2-4ac$.
Por exemplo a parábola $y=3x^2$, tem o vértice em $(0,0)$ e a concavidade voltada para cima, enquanto que a parábola $y=-3x^2$ tem o mesmo vértice mas a concavidade voltada para baixo.
Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas em dois pontos, portanto $\Delta > 0$. O vértice da parábola tem uma ordenada negativa.
Exemplo
A parábola $2x^2-2x-12$ tem $a=2$ e $\Delta=(-2)^2-4\times 2 \times (-12)=100$. Podemos então afirmar que a parábola tem a concavidade voltada para cima, tem dois zeros, $\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2 \pm 10}{4}$ ($x=3$ ou $x=-2$) e o seu vértice é $\displaystyle \left(-\frac{-2}{2 \times 2},-\frac{100}{8}\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{25}{2}\right)$.
O conjunto solução de $2x^2-2x-12<0$ é $]-2,3[$ e o conjunto solução de $2x^2-2x-12<0$ é $]-\infty,-2[ \cup ]3,+\infty[$.
Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas apenas num ponto, portanto $\Delta = 0$. O vértice da parábola é o seu zero.
Consideremos a parábola $x^2-10x+25$. Nesta caso, $a=1$ e $\Delta=(-10)^2-4 \times 1 \times 25=0$. O único zero da função é $x=5$, e portanto o vértice da parábola é $(5,0)$.
O conjunto solução da inequação $x^2-10x+25 <0$ é o conjunto vazio, $\emptyset$. O conjunto solução de $x^2-10x+25>0$ é $\mathbb{R}\setminus\{5\}$. Note-se que o conjunto solução de $x^2-10x+25 \ge 0$ é $\mathbb{R}$ e o conjunto solução de $x^2-10x+25\le 0$ é $\{5\}$.
Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola não interseta o eixo das abcissas, portanto $\Delta < 0$.
Consideremos a parábola $4x^2+x+7$. $\Delta=1-4\times 4 \times 7=-111$, logo a parábola não tem zeros. Como $a=4$, a concavidade está voltada para cima. O vértice da parábola é o ponto $\displaystyle \left(-\frac{1}{8},\frac{111}{16}\right)$. O conjunto solução de $4x^2+x+7 \le 0$ é o conjunto vazio e o conjunto solução de $4x^2+x+7>0$ ou de $4x^2+x+7\ge 0$ é $\mathbb{R}$.
Neste caso temos a concavidade voltada para baixo, por isso $a<0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas em dois pontos, logo $\Delta >0$.
Consideremos a parábola $-2x^2+4x+6$, com $a = -2$ e $\Delta =64 $. A concavidade está voltada para baixo e a parábola tem dois zeros, $x=3$ ou $x=-1$. O vértice da parábola é $\displaystyle \left(1, 8\right)$. O conjunto solução de $-2x^2+4x+6>0$ é $]-1,3[$ e de $-2x^2+4x+6<0$ é $]-\infty,-1[ \cup ]3,+\infty[$.
Neste caso temos a concavidade voltada para baixo, por isso $a<0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas apenas num ponto, logo $\Delta =0$.
Cosideremos a parábola $-x^2+16x-640$. Neste caso $a=-1$ e $\Delta=0$. A parábola interseta o eixo das abcissas no seu vértice, $\displaystyle \left(8,0\right)$. O conjunto solução de $-x^2+16x-64 \ge 0$ é $\{8\}$, o conjunto solução de $-x^2+16x-64 > 0$ é o conjunto vazio. O conjunto solução de $-x^2+16x-64 \le 0$ é $\mathbb{R}$ e o conjunto solução de $-x^2+16x-64 < 0$ é $\mathbb{R}\setminus \{8\}$.
Neste caso temos a concavidade voltada para baixo, por isso $a<0$ e a parábola não interseta o eixo das abcissas, logo $\Delta <0$.
Consideremos a parábola $-5x^2+5x-15$ com $a=-5$, logo concavidade voltada para baixo e $\Delta =-275$, logo a parábola não tem zeros. O seu vértice é $\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{55}{4}\right)$. O conjunto solução de $-5x^2+5x-15 \ge 0$ é o conjunto vazio. O conjunto solução de $-5x^2+5x-15<0$ ou de $-5x^2+5x-15\le 0$ é $\mathbb{R}$.
Exercícios Propostos
- Determine o menor número natural que verifica a condição
\[ \frac{x-3}{4}-\frac{x^2+5}{4}<\frac{2x^2}{3}+10. \]
- Determine, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes inequações
- $\displaystyle \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(3-x\right)<0$
- $\displaystyle x^2-12x+27\le0$
- $\displaystyle x^2\ge x$
- $\displaystyle (x-1)^2-7\>(x-2)^2\le0$
