Outras inequações

Resolução de outras Inequações

O primeiro passo a realizar na resolução de uma inequação é transformá-la numa inequação equivalente cujo segundo membro seja nulo. De seguida, e sempre que possível, simplificar o primeiro membro de modo a obter um produto/quociente de expressões .

\subsubsection{Exemplos} \begin{enumerate} \item Considere-se a seguinte inequação UNIQ387516eb313702e6-MathJax-1-QINU. Resolver esta inequação é determinar os valores de UNIQ387516eb313702e6-MathJax-2-QINU para os quais o produto de UNIQ387516eb313702e6-MathJax-3-QINU por UNIQ387516eb313702e6-MathJax-4-QINU é positivo. Atendendo a que o produto de dois factores só é positivo se ambos tiverem o mesmo sinal, pode-se concluir que os valores de UNIQ387516eb313702e6-MathJax-5-QINU são os que verificam as condições \begin{eqnarray*} (x-4)(x+1)>0 & \sse & \left\{ \begin{array}{l} x-4>0 \\ x+1>0 \\ \end{array} \right. \lor \left\{ \begin{array}{l} x-4<0 \\ x+1<0 \\ \end{array} \right. \\ & \sse & \left\{ \begin{array}{l} x>4 \\ x>-1 \\ \end{array} \right. \lor \left\{ \begin{array}{l} x<4 \\ x<-1 \\ \end{array} \right. \\ & \sse & x>4 \lor x<-1 \end{eqnarray*} Uma forma mais simples para a resolução deste tipo de inequações é a construção de uma tabela. O primeiro membro da inequação UNIQ387516eb313702e6-MathJax-6-QINU tem dois factores. O que se pretende é colocar numa tabela os intervalos em que cada um dos factores é positivo ou negativo. \noindent Os valores que se têm de colocar nas colunas são os valores para os quais cada factor se anula, por ordem crescente. Os factores anulam-se para UNIQ387516eb313702e6-MathJax-7-QINU e UNIQ387516eb313702e6-MathJax-8-QINU, respectivamente. Assinala-se o sinal que cada factor toma em cada intervalo. Assim a tabela tem a forma UNIQ387516eb313702e6-MathJax-55-QINU A última linha é preenchida atendendo à regra dos sinais. UNIQ387516eb313702e6-MathJax-56-QINU \bigskip \noindent Assim UNIQ387516eb313702e6-MathJax-57-QINU ou seja, o conjunto solução da inequação é UNIQ387516eb313702e6-MathJax-29-QINU. \noindent Se se pretende resolver a inequação UNIQ387516eb313702e6-MathJax-30-QINU, basta observar de novo o quadro e concluir que UNIQ387516eb313702e6-MathJax-58-QINU \item Considere-se a seguinte inequação UNIQ387516eb313702e6-MathJax-59-QINU Resolver uma inequação reduz-se ao problema de determinar o sinal de uma expressão. Assim, tem que se colocar o segundo membro da inequação a zero e depois transformar o primeiro membro num produto/quociente de expressões. \begin{align*} \frac{x-3}{4-x}\le1 & \sse \frac{x-3}{4-x}-1\le0 & \\ & \sse \frac{x-3}{4-x}-\frac{4-x}{4-x}\le0 & \\ & \sse \frac{x-3-4+x}{4-x}\le0 & \\ & \sse \frac{2x-7}{4-x}\le 0 & \end{align*} Aplicando a tabela descrita no exemplo anterior, os factores anulam-se para UNIQ387516eb313702e6-MathJax-31-QINU e UNIQ387516eb313702e6-MathJax-32-QINU, respectivamente. Assim a tabela tem a forma UNIQ387516eb313702e6-MathJax-60-QINU Note-se que, quando UNIQ387516eb313702e6-MathJax-52-QINU, o denominador anula-se e a inequação não faz sentido e, por isso, é usual escrever-se UNIQ387516eb313702e6-MathJax-53-QINU, que significa \textit{Sem Significado}. \noindent Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fracção. Assim o conjunto solução é UNIQ387516eb313702e6-MathJax-54-QINU. \end{enumerate}