Outras inequações
Resolução de outras Inequações
O primeiro passo a realizar na resolução de uma inequação é transformá-la numa inequação equivalente cujo segundo membro seja nulo. De seguida, e sempre que possível, simplificar o primeiro membro de modo a obter um produto/quociente de expressões .
Exemplos
Considere-se a seguinte inequação $(x-4)(x+1)>0$.
Resolver esta inequação é determinar os valores de $x$ para os quais o produto de $x-4$ por $x+1$ é positivo. Atendendo a que o produto de dois factores só é positivo se ambos tiverem o mesmo sinal, pode-se concluir que os valores de $x$ são os que verificam as condições \begin{eqnarray*} (x-4)(x+1)>0 & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x-4>0 \\ x+1>0 \\ \end{array} \right. \lor \left\{ \begin{array}{l} x-4<0 \\ x+1<0 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x>4 \\ x>-1 \\ \end{array} \right. \lor \left\{ \begin{array}{l} x<4 \\ x<-1 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow & x>4 \lor x<-1 \end{eqnarray*}
Uma forma mais simples para a resolução deste tipo de inequações é a construção de uma tabela. O primeiro membro da inequação $(x-4)(x+1)>0$ tem dois fatores. O que se pretende é colocar numa tabela os intervalos em que cada um dos factores é positivo ou negativo.
Os valores que se têm de colocar nas colunas são os valores para os quais cada fator se anula, por ordem crescente. Os fatores anulam-se para $4$ e $-1$, respetivamente. Assinala-se o sinal que cada fator toma em cada intervalo. Assim a tabela tem a forma
| width="50pt"| | $-1$ | $4$ | |||
| $x-4$ | $-$ | $-5$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $5$ | $+$ |
| $(x-4)(x+1)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
\[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} \multicolumn{1}{c|}{ \ } & & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-29-QINU & & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-30-QINU & \\ \hline UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-31-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-32-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-33-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-34-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-35-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-36-QINU \\ \hline UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-37-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-38-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-39-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-40-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-41-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-42-QINU \\ \hline UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-43-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-44-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-45-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-46-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-47-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-48-QINU \\ \end{tabular} \] A última linha é preenchida atendendo à regra dos sinais. \[ \begin{tabular}{|c|} \hline \textbf{Regra dos Sinais} \\ \\ Um produto é \textbf{positivo} se o número de factores negativos é \textbf{par} \\ \\ Um produto é \textbf{negativo} se o número de factores negativos é \textbf{ímpar} \\ \hline \end{tabular} \]
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\noindent Assim \[ (x-4)(x+1)>0 \sse x<-1 \lor x>4, \] ou seja, o conjunto solução da inequação é $]-\infty,-1[\cup]4,+\infty[$.
\noindent Se se pretende resolver a inequação $(x-4)(x+1)\le0$, basta observar de novo o quadro e concluir que \[ (x-4)(x+1)\le0 \sse -1\le x \le4 \]
\item Considere-se a seguinte inequação
\[ \frac{x-3}{4-x}\le1 \] Resolver uma inequação reduz-se ao problema de determinar o sinal de uma expressão. Assim, tem que se colocar o segundo membro da inequação a zero e depois transformar o primeiro membro num produto/quociente de expressões. \begin{align*} \frac{x-3}{4-x}\le1 & \sse \frac{x-3}{4-x}-1\le0 & \\ & \sse \frac{x-3}{4-x}-\frac{4-x}{4-x}\le0 & \\ & \sse \frac{x-3-4+x}{4-x}\le0 & \\ & \sse \frac{2x-7}{4-x}\le 0 & \end{align*} Aplicando a tabela descrita no exemplo anterior, os factores anulam-se para $\DS\frac{7}{2}$ e $4$, respectivamente. Assim a tabela tem a forma \[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} & & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-53-QINU & & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-54-QINU & \\ \hline UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-55-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-56-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-57-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-58-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-59-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-60-QINU \\ \hline UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-61-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-62-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-63-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-64-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-65-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-66-QINU \\ \hline UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-67-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-68-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-69-QINU & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-70-QINU & S/S & UNIQ207f9ab321e9e09d-MathJax-71-QINU \\ \end{tabular} \] Note-se que, quando $x=4$, o denominador anula-se e a inequação não faz sentido e, por isso, é usual escrever-se $S/S$, que significa \textit{Sem Significado}. \noindent Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fracção. Assim o conjunto solução é $\DS\left]-\infty,\frac{7}{2}\right] \cup ]4,+\infty[$. \end{enumerate}
