Funções definidas por ramos

Funções definidas por ramos

Considere-se a função definida por $$f(x)=\displaystyle\begin{cases} \displaystyle \frac{x^2-1}2 & \text{se }x < 2 \\ 2-x &\text{se }x \ge 2 \end{cases} $$ cujo domínio é $\mathbb{R}$. Dependendo dos valores de $x$, a expressão para calcular $f(x)$ é diferente. Por exemplo, $f(3)= 2-3=-1$ e $f(1)=\displaystyle \frac{1^2-1}{2}=0$. Observe-se que $f(2)=2-2=0$ e $\DS f(2)\ne\frac32=\displaystyle \frac{2^2-1}2$.

Esta função tem regras diferentes para valores de $x<2$ e para valores de $x \ge 2$, daí que se use a designação de função definida por ramos: cada ramo tem uma expressão analítica diferente.

\begin{pvplot}[name=fdr,pos=c,unit=10mm](-8,5)(-2.5,3.5) \pvaxes[x=x,y=y,xrange={-3,5}] \pvfunct[size=2]{.5*x*x-.5:(-2.5,2)} \pvfunct[size=2]{2-x:(2,4)} \pvpoint[x=\scriptstyle2](2,0){} \pvpoint[x=\scriptstyle1](1,0){} \pvpoint[x=\scriptstyle-1](-1,0){} \pvpoint[y=\scriptstyle1.5,dash](2,1.5){} \pvpoint(2,1.5)[]{\color{white}\scriptscriptstyle\bullet} \pvpoint(2,1.5)[]{\scriptscriptstyle\circ} \pvpoint(2,0)[]{\scriptscriptstyle\bullet} \pvpoint(2,2.5){y=f(x)} \pvpoint(-8,1)[l]{} \end{pvplot}

Algumas propriedades desta função: \begin{itemize} \item UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-11-QINU é crescente em UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-12-QINU e decrescente em UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-13-QINU e em UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-14-QINU . \item UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-15-QINU tem um mínimo local em UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-16-QINU, mas não tem máximos, nem locais nem absolutos. \item Os zeros de UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-17-QINU são UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-18-QINU. Em UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-19-QINU e em UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-20-QINU a função é positiva (UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-21-QINU). Em UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-22-QINU e em UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-23-QINU a função é negativa (UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-24-QINU). \item O gráfico de UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-25-QINU tem um ``salto" em UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-26-QINU, o que se traduz na afirmação, \emph{UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-27-QINU é descontínua em UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-28-QINU.} \item A função UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-29-QINU não é limitada: para valores de UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-30-QINU negativos mas de valor absoluto muito elevados a função toma valores muito elevados e para valores de UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-31-QINU positivos muito elevados a função toma valores negativos de valor absoluto muito elevados. Dizemos que, quando UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-32-QINU tende para UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-33-QINU, o limite de UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-34-QINU é UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-35-QINU UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-36-QINU e que o limite de UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-37-QINU quando UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-38-QINU tende para UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-39-QINU é UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-40-QINU UNIQ4834961b2ecb67c3-MathJax-41-QINU. \end{itemize}