Função módulo
\subsubsection{A função módulo} A função \emph{módulo} pode ser encarada como uma função definida por ramos: \begin{center} \begin{pvplot}[name=mod,pos=c,unit=10mm](-4,15)(-.8,4.5) \pvaxes[x=x,y=y,xrange={-4,5}] \pvfunct[size=2]{abs(x):(-3,3.5)} \pvpoint[x=\scriptstyle1,dash](2,2){} \pvpoint[x=\scriptstyle-1,dash](-2,2){} \pvpoint(0,2)[lb]{\scriptstyle1} \pvpoint(3,2.5){y=|x|} \pvpoint(9,2.5)[r]{|x|=\DS\begin{cases} \ \;x&\text{se }x\ge0\\-x&\text{se }x<0\end{cases}} \end{pvplot} \end{center} Esta função é contínua (o gráfico não tem ``saltos"), tem um zero em $x=0$, é decrescente em $]-\infty,0[$ e crescente em $]0,+\infty[$. $(0,f(0))=(0,0)$ é um mínimo local e global da função.
\noindent A representação gráfica da função módulo pode ajudar na resolução de problemas algébricos, como o exemplo seguinte ilustra.
\subsubsection*{Exemplo} \noindent Resolva a inequação $|x|+|x-1|\le3$.
\noindent Como $$|x|+|x-1|\le3 \Leftrightarrow |x-1|\le-|x|+3,$$ traçando o gráfico das funções $f(x)=|x-1|$ e $g(x)=-|x|+3$, basta analisar onde a desigualdade $f(x) \le g(x)$ (ou seja, os intervalos onde o gráfico de $f$ está abaixo do gráfico de $g$) se verifica:
\begin{itemize}
\item A função UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-19-QINU pode ser obtida por uma translação horizontal da função UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-20-QINU (primeira imagem);
\item A função UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-21-QINU é obtida reflectindo a função UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-22-QINU sobre o eixo das abcissas e UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-23-QINU obtém-se da anterior fazendo uma translação vertical do gráfico de UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-24-QINU de 3 unidades para cima (imagem dois);
\item Finalmente, traçando os dos gráficos no mesmo referencial, facilmente se observa que UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-25-QINU se verifica se UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-26-QINU.\end{itemize}
\begin{tabular}{ccc} \begin{pvplot}[pos=.45,name=in,unit=6mm](-3.5,4)(-2,4) \pvaxes[x=\scriptscriptstyle x,y=\scriptscriptstyle y] \pvfunct[color=blue,size=2,name=ap]{abs(x):(-3.2,3.2)} \pvfunct[size=2,name=ah]{abs(x-1):(-2.5,3.2)} \pvpoint[x=\scriptscriptstyle1](1,0){} \pvpoint(-2,.7)[]{\color{blue}\scriptstyle|x|} \pvpoint(3.4,.7)[]{\scriptstyle|x-1|} \end{pvplot} & \begin{pvplot}[pos=.45,name=in,unit=6mm](-3.5,4)(-2,4) \pvaxes[x=\scriptscriptstyle x,y=\scriptscriptstyle y] \pvfunct[color=blue,size=2,name=an]{-abs(x):(-1.7,1.7)} \pvfunct[size=2,name=av]{3-abs(x):(-3.2,3.2)} \pvpoint[y=\scriptscriptstyle3](-.1,3){} \pvpoint(-2.5,-1)[]{\color{blue}\scriptstyle-|x|} \pvpoint(2.5,2.3)[]{\scriptstyle-|x|+3} \end{pvplot} & \begin{pvplot}[pos=.45,name=in,unit=6mm](-3.5,4)(-2,4) \pvfunct[color=red,size=6]{0:(-1,2)} \pvaxes[x=\scriptscriptstyle x,y=\scriptscriptstyle y] \pvfunct[size=2,name=av]{3-abs(x):(-3.2,3.2)} \pvfunct[size=2,name=ah]{abs(x-1):(-2.5,3.2)} \pvpoint[x=\scriptscriptstyle2,xdash](2,1){} \pvpoint[x=\scriptscriptstyle-1,xdash](-1,2){} \pvpoint(1.6,3.1)[]{\scriptstyle-|x|+3} \pvpoint(3.8,1.2)[]{\scriptstyle|x-1|} \end{pvplot} \\ Imagem 1 & Imagem 2 & Imagem 3 \\ \end{tabular}
\subsubsection*{Exercícios Resolvidos}
Seja $f$ a função definida por $f(x)=|x^2-3x+2|$.
\begin{description}
\item[(a)] Reescreva a expressão analítica de UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-29-QINU sem usar o símbolo UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-30-QINU.
\item[(b)]Determine o conjunto UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-31-QINU por forma a que a proposição ``UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-32-QINU" \ seja verdadeira.
\end{description}
\textbf{Resolução:} \begin{description} \item[(a)] Comecemos por analisar o sinal de UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-33-QINU. UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-2-QINU O produto será positivo se os dois factores tiverem o mesmo sinal e negativo se os factores tiverem sinais contrários. Então: UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-3-QINU UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-4-QINU Podemos agora definir a função UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-34-QINU por ramos da seguinte forma: UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-5-QINU Repare que UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-35-QINU sendo portanto indiferente calcular o valor da função nestes pontos num ou noutro ramo. \item[(b)] Pretende-se determinar o conjunto UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-6-QINU Resolvendo as duas inequações temos: {\small UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-7-QINU } O conjunto UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-36-QINU é a intersecção dos conjuntos solução das duas inequações, UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-8-QINU \end{description}
\subsubsection*{Exercícios Propostos}
\begin{enumerate}
\item Reescreva a expressão analítica das seguintes funções, sem usar o símbolo módulo:
\begin{description}
\item[(a)] UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-37-QINU;
\item[(b)] UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-38-QINU
\end{description}
\item
Utilize o processo gráfico para resolver as inequações:
\begin{description}
\item[(a)] UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-39-QINU;
\item[(b)] UNIQ24d0c69e7adb92f6-MathJax-40-QINU.
\end{description}
\end{enumerate}
