Função módulo

A função módulo

A função módulo pode ser encarada como uma função definida por ramos:

Esta função é contínua (o gráfico não tem "saltos"), tem um zero em $x=0$, é decrescente em $]-\infty,0[$ e crescente em $]0,+\infty[$. $(0,f(0))=(0,0)$ é um mínimo local e global da função.

A representação gráfica da função módulo pode ajudar na resolução de problemas algébricos, como o exemplo seguinte ilustra.

Exemplo \noindent Resolva a inequação $|x|+|x-1|\le3$.

\noindent Como $$|x|+|x-1|\le3 \Leftrightarrow |x-1|\le-|x|+3,$$ traçando o gráfico das funções $f(x)=|x-1|$ e $g(x)=-|x|+3$, basta analisar onde a desigualdade $f(x) \le g(x)$ (ou seja, os intervalos onde o gráfico de $f$ está abaixo do gráfico de $g$) se verifica: \begin{itemize} \item A função UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-19-QINU pode ser obtida por uma translação horizontal da função UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-20-QINU (primeira imagem); \item A função UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-21-QINU é obtida reflectindo a função UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-22-QINU sobre o eixo das abcissas e UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-23-QINU obtém-se da anterior fazendo uma translação vertical do gráfico de UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-24-QINU de 3 unidades para cima (imagem dois); \item Finalmente, traçando os dos gráficos no mesmo referencial, facilmente se observa que UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-25-QINU se verifica se UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-26-QINU.\end{itemize}

\begin{tabular}{ccc} \begin{pvplot}[pos=.45,name=in,unit=6mm](-3.5,4)(-2,4) \pvaxes[x=\scriptscriptstyle x,y=\scriptscriptstyle y] \pvfunct[color=blue,size=2,name=ap]{abs(x):(-3.2,3.2)} \pvfunct[size=2,name=ah]{abs(x-1):(-2.5,3.2)} \pvpoint[x=\scriptscriptstyle1](1,0){} \pvpoint(-2,.7)[]{\color{blue}\scriptstyle|x|} \pvpoint(3.4,.7)[]{\scriptstyle|x-1|} \end{pvplot} & \begin{pvplot}[pos=.45,name=in,unit=6mm](-3.5,4)(-2,4) \pvaxes[x=\scriptscriptstyle x,y=\scriptscriptstyle y] \pvfunct[color=blue,size=2,name=an]{-abs(x):(-1.7,1.7)} \pvfunct[size=2,name=av]{3-abs(x):(-3.2,3.2)} \pvpoint[y=\scriptscriptstyle3](-.1,3){} \pvpoint(-2.5,-1)[]{\color{blue}\scriptstyle-|x|} \pvpoint(2.5,2.3)[]{\scriptstyle-|x|+3} \end{pvplot} & \begin{pvplot}[pos=.45,name=in,unit=6mm](-3.5,4)(-2,4) \pvfunct[color=red,size=6]{0:(-1,2)} \pvaxes[x=\scriptscriptstyle x,y=\scriptscriptstyle y] \pvfunct[size=2,name=av]{3-abs(x):(-3.2,3.2)} \pvfunct[size=2,name=ah]{abs(x-1):(-2.5,3.2)} \pvpoint[x=\scriptscriptstyle2,xdash](2,1){} \pvpoint[x=\scriptscriptstyle-1,xdash](-1,2){} \pvpoint(1.6,3.1)[]{\scriptstyle-|x|+3} \pvpoint(3.8,1.2)[]{\scriptstyle|x-1|} \end{pvplot} \\ Imagem 1 & Imagem 2 & Imagem 3 \\ \end{tabular}

\subsubsection*{Exercícios Resolvidos} Seja $f$ a função definida por $f(x)=|x^2-3x+2|$.

   \begin{description}
        \item[(a)] Reescreva a expressão analítica de UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-29-QINU sem usar o símbolo UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-30-QINU.
        \item[(b)]Determine o conjunto UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-31-QINU por forma a que a proposição ``UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-32-QINU" \ seja verdadeira.
    \end{description}

\textbf{Resolução:} \begin{description} \item[(a)] Comecemos por analisar o sinal de UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-33-QINU. UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-2-QINU O produto será positivo se os dois factores tiverem o mesmo sinal e negativo se os factores tiverem sinais contrários. Então: UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-3-QINU UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-4-QINU Podemos agora definir a função UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-34-QINU por ramos da seguinte forma: UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-5-QINU Repare que UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-35-QINU sendo portanto indiferente calcular o valor da função nestes pontos num ou noutro ramo. \item[(b)] Pretende-se determinar o conjunto UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-6-QINU Resolvendo as duas inequações temos: {\small UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-7-QINU } O conjunto UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-36-QINU é a intersecção dos conjuntos solução das duas inequações, UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-8-QINU \end{description}

\subsubsection*{Exercícios Propostos} \begin{enumerate} \item Reescreva a expressão analítica das seguintes funções, sem usar o símbolo módulo: \begin{description} \item[(a)] UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-37-QINU; \item[(b)] UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-38-QINU \end{description} \item Utilize o processo gráfico para resolver as inequações: \begin{description} \item[(a)] UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-39-QINU; \item[(b)] UNIQ617e81c43a9134c3-MathJax-40-QINU. \end{description} \end{enumerate}