Exemplos 14
Estude a monotonia das sucessões de termo geral:
- $a_n=3+\sqrt{n}$.
- $\displaystyle b_n=\frac{n+2}{n+1}$.
- $c_n=n^2-11n+10$.
- $d_n=(-2)^n$.
- $\left\{ \begin{array}{l} e_1=4\\ e_{n+1}=e_n+2n+1, n \in \mathbb{N}\\ \end{array} \right.$
Resolução
1. Devemos estudar o sinal de $a_{n+1}-a_n$. Como $n+1>n$, então $\sqrt{n+1}>\sqrt{n}$. Logo, $a_{n+1}-a_n=[3+\sqrt{n+1}]-[3+\sqrt{n}]=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}>0$, e portanto a sucessão é monótona crescente.
2. Devemos estudar novamente o sinal de $b_{n+1}-b_n$: $$b_{n+1}-b_n=\frac{(n+1)+2}{(n+1)+1}-\frac{n+2}{n+1}=\frac{(n+3)(n+1)-(n+2)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=$$ $$\frac{-1}{(n+2)(n+1)}<0,$$ uma vez que, como $n \in \mathbb{N}$, então $n+2>0$ e $n+1>0$. Logo $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é monótona decrescente.
3. Como $c_{n+1}-c_n=2n-10$ e esta expressão toma valores positivos ou negativos (por exemplo, se $n=3$, $2n-10 < 0$, e $c_4 < c_3$; mas se $n=6$, então $2n-10 > 0$ e portanto $c_7 > c_6$), dependendo do valor de $n$, concluímos que a sucessão dada não é monótona.
4. Atendendo a que $d_1=-2$, $d_2=4$ e $d_3=-8$, então $d_1<d_2$ e $d_2>d_3$. Portanto a sucessão é não monótona.
5. Uma vez que $$e_{n+1}=e_n+2n+1 \Leftrightarrow e_{n+1}-e_n=2n+1$$ e $2n+1$ é sempre positivo, concluímos que a sucessão dada é monótona crescente.
