Exercícios 5
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Ex.1
1. Sabendo o capital investido $C$, pode determinar-se o valor a receber após $t$ anos:
(a) Um capital $C$, composto (ou capitalizado) anualmente a uma taxa de juro anual $i$ durante $t$ anos, terá no final desse tempo um valor dado pela função exponencial $\displaystyle C(t)=C(1+i)^t$.
(a.1) Se for composto (ou capitalizado) $m$ vezes ao ano durante $t$ anos o seu valor será $\displaystyle C(t)=C(1+\frac{i}{m})^{mt}$.
(a.2) Se for composto continuamente durante $t$ anos teremos $\displaystyle C(t)=Ce^{it}$.
(b) Se pretendermos resolver o problema recíproco, isto é, saber qual a quantia a ser investida, $P$, para receber após um período de $t$ anos o valor $S$, devemos usar as seguintes funções:
(i) Uma soma em dinheiro $S$, a receber daqui a $t$ anos considerando uma taxa anual de juro $i$ e composição anual vale presentemente $P=S(1+i)^{-t}$.
(ii) Se a composição for múltipla ($m$ vezes ao ano), $P=S(1+\frac{i}{m})^{-mt}$.
(iii) Se a composição for contínua, $P=Se^{-it}$.
(b.1) Qual o valor de um capital de 2000 euros, ao fim de 5 anos, se ele for capitalizado a uma taxa de juro de $3\%$,
(1) anualmente; (2) semestralmente; (3) trimestralmente; (4) continuamente.
(b.2) A uma taxa de juro anual de $5\%$, quanto vale hoje uma soma de 50 000 euros a receber daqui a 5 anos considerando composição:
(1) anual; (2) semestral; (3) trimestral; (4) contínua.
Ex.2
2. Outras aplicações da utilização de funções exponenciais estão relacionadas com a desintegração das substâncias radioactivas, $A=A_0e^{rt}$, em que $A$ é a quantidade de substância radioactiva existente depois de $t$ anos, $A_0$ a quantidade inicial e $r$ é a característica de cada substância a qual representa a taxa anual de desintegração. Se $r=5$, determine $t$ em função de $A$.
Ex.3
3. Uma organização sindical analisou as ofertas de emprego numa certa cidade no decorrer dos meses e chegou à seguinte expressão matemática $$N(t)=100 \, e^{t/2}$$ onde $t$ representa o mês em estudo ($t=0$ o início do estudo) e $N(t)$ o número de ofertas de emprego no mês $t$.
(a) No início, quantas ofertas de emprego existiam? E passado um ano? (apresente o resultado arredondado às unidades)
(b) Quando é que o número de ofertas de emprego é de $5 \, 314$? (apresente o resultado arredondado às unidades)
(c) Justifique que a função é invertível e determine a expressão de $N^{-1}$.
(d) Chegou-se à conclusão que nem todas as ofertas de emprego são aceites pelos candidatos e apenas algumas vagas são preenchidas. Quando as ofertas de emprego são $N$, apenas são preenchidas $N/2+30$. Determine a expressão que relaciona o número de vagas que são efectivamente aceites, em função dos meses $t$.
Ex.4
4. De acordo com uma dada curva de crescimento e desenvolvimento, a altura $A$ (em metros) de uma criança do sexo masculino pode ser expressa, aproximadamente, em função do seu peso $p$ (em quilogramas) por $A(p) = -0. 52 + 0. 55 \ln{p}.$
(a) Sabendo que o peso do Pedro é 20kg, determine um valor aproximado da sua altura.
(b) Sabendo que a altura do João é 1.32m, determine um valor aproximado do seu peso.
Ex.5
5. Seja $f$ a função definida em $\mathbb{R}^+$ por $f(x)=\log_2{(8x^2)}-\log_2{x}$.
(a) Mostre que $f(x)=3+\log_3{x}$, para qualquer $x\in \mathbb{R}^+$
(b) Determine a abcissa do ponto de intersecção do gráfico $f$ com a recta de equação $y=8.$
Ex.6
5. Resolva as equações
(a) $5^{x+1}=125$
(b) $5^{x+1}=12$
(c) $\log_2{(x+1)}=\log_2{5}$
(d) $\log_2{(x+1)}=8$
(e) $2^{2x+1}=16$
(f) $\displaystyle 3^{1-x^2}=\frac{1}{81}$
(g) $\log{(x+1)}=100$
(h) $\log_2{x+1}=\log_2{x}-\log_2{(2x)}$
(i) $\displaystyle \frac{\ln{x^5}-\ln{x}}{2\ln{x}-\ln{x^3}}$
Ex.7
6. Resolva as inequações
(a) $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{3}}>2^x$
(b) $\displaystyle \log_{\frac{1}{5}}{(x^2-1)}<-3$
(c) $\log_3{(3x-1)}>5$
Ex.8
8. Considere a função $f(x)=\log_2{(x-1)}$ e determine
(a) O domínio de $f$;
(b) Os zeros de $f$;
(c) Os valores de $x$ para os quais $f$ é positiva.
Ex.9
9. Represente graficamente as seguintes funções
(a) $f(x)=10^x$
(b) $g(x)=2^x$
(c) $\displaystyle h(x)=\left(\frac{1}{e}\right)^x$
(d) $d(x)=\log{x}$ & (e)&$m(x)=\log_2{x}$
(f) $n(x)=\log_{\frac{1}{e}}{x}$
Ex.10
10. Calcule, recorrendo à definição e às propriedades dos logaritmos as seguintes expressões:
(a) $\log_{7}{1}$
(b) $\ln{e}$
(c) $\ln{e^{-10}}$
(d) $\log_2{8}$
(e) $\log_{81}$
(f) $\log{10^{-6}}$
(g) $\log_2{(32\times 64)}$
(h) $\displaystyle \log_2{\left(\frac{32}{64}\right)}$
(i) $\log_4{1024}$
Ex.11
11. Simplifique as expressões:
(a) $\displaystyle e^{x\ln{2}}+e^{\ln{x}-2\ln{4}}+5^{-2\log_5{3}}$, com $x>0$.
(b) $\displaystyle \ln{e^{x^2}}+\ln{1}\cdot e^x-\ln{(2x)}+\ln{(x-1)}$, com $x>1$.
(c) $\displaystyle e^{\ln{3x}-\ln{\frac{1}{x}}}$, com $x>0$.
(d) $\displaystyle \log_b{1}+\ln{e}-\log_5{125}$, com $b>0$ e $b \ne 1$.
Ex.12
12. Resolva cada uma das seguintes equações:
(a) $\displaystyle \log_{\frac{1}{3}}{x}=2$
(b) $\displaystyle \log_x{15}=1$
(c) $\log_x{49}=-1$
(d) $e^{5x+1}=e^{2x+3}$
(e) $\displaystyle 3^x=50$
(f) $e^{3x-1}=1$
(g) $\displaystyle \ln{(6x)}=\ln{(x^2-16)}$
(h) $\displaystyle 4^{1-2x}=(\ln{e})^2$
Ex.13
13. Resolva as seguintes inequações:
(a) $\ln{(x-1)}<\ln{(x^2+4)}$
(b) $\displaystyle \left(\frac{1}{e}\right)^{2x-1}<e^{x+3}$
(c) $4^{x^2+4} \ge 2^{4x}$
(d) $\displaystyle \frac{27}{3^x} \le 81$
(e) $16^x>2^{3x-1}$
(f) $\log_2{x} \le \log_2{(4x-2)}$
(g) $\log_3{(x-1)}>\log_3{(x(x+1))}$
Ex.14
14. Determine o domínio das seguintes funções
(a) $\ln{\frac{x}{x^2-1}}$
(b) $f(x)=\ln{\sqrt{(x-3)(x+2)}}$
(c) $f(x)=\ln{\frac{1+x}{1-x}}$
(d) $\displaystyle f(x)=e^{\frac{1}{x^2-2}}$
(e) $\displaystyle f(x)=e^{1-\ln{(x^2)}}$
(f) $f(x)=\frac{e^{2x+3}}{x}$
Ex.15
15. A dimensão de uma mancha de petróleo no mar, originada por um acidente com um petroleiro, é dada pela expressão $A=(1.7)^t$, onde $t$ representa o tempo (em horas) em que o petroleiro está a derramar petróleo e $A$ representa a mancha em $km^2$. Se a mancha se estender circularmente em torno do navio, quanto tempo leva a chegar à costa que se situa a $10 km$ do local do acidente?
Ex.16
16. Para uma população de 500 pessoas a taxa de crescimento anual é de $4\%$. A função $P=500 \times (1.04)^t$ permite calcular o número de pessoas dessa população ao fim de $t$ anos.
(a) Qual o número de pessoas ao fim de 5 anos?
(b) Represente graficamente a função $P$ para $t\le 10$.
(c) Ao fim de quantos anos a população é superior a 2000?
(d) O crescimento da população foi maior no quinto ou no décimo quinto ano?
