Fatorização: resolução 2
1. Um número real $r$ é raiz de um polinómio $p$ se e só se $p(r)=0$.
Como $p_1(-6)=0$ e $p_2(-6)=0$ conclui-se que $-6$ é raiz de $p_1$ e de $p_2$.
2. Como $-6$ é raiz de $p_1$, então $p_1$ é divisível por $x + 6$ e, usando o algoritmo da divisão $$\displaystyle \frac{4 \, x^{3} + 60 \, x^{2} + 296 \, x + 480}{x + 6}=4 \, x^{2} + 36 \, x + 80.$$
3. Como $-6$ é raiz de $p_2$, então $p_2$ é divisível por $x + 6$ e, usando o algoritmo da divisão $$\displaystyle \frac{9 \, x^{3} + 81 \, x^{2} + 198 \, x + 216}{x + 6}=9 \, x^{2} + 27 \, x + 36.$$
4. Na alínea anterior concluiu-se que $$\displaystyle \frac{4 \, x^{3} + 60 \, x^{2} + 296 \, x + 480}{x + 6}=4 \, x^{2} + 36 \, x + 80$$ e, portanto, $$ 4 \, x^{3} + 60 \, x^{2} + 296 \, x + 480=(x + 6)(4 \, x^{2} + 36 \, x + 80).$$ Assim $$4 \, x^{3} + 60 \, x^{2} + 296 \, x + 480=0 \Leftrightarrow x + 6=0\; \vee \; 4 \, x^{2} + 36 \, x + 80=0.$$ Como $$4 \, x^{2} + 36 \, x + 80=0\Leftrightarrow x=\frac{-36 \pm \sqrt{1296-1280}}{8} \Leftrightarrow x=-4\; \vee\; x=-5,$$ resulta $$4 \, x^{3} + 60 \, x^{2} + 296 \, x + 480=0 \Leftrightarrow x=-6\; \vee\; x=-4\;\vee\; x=-5$$ e, consequentemente, $$p_1(x)=4(x + 6)(x + 4)(x + 5).$$
Usado um raciocínio análogo para o polinómio $p_2$ vem $$p_2(x)=0\Leftrightarrow (x + 6)(9 \, x^{2} + 27 \, x + 36)=0 \Leftrightarrow x=-6\, \vee\; 9 \, x^{2} + 27 \, x + 36=0.$$
Como $$9 \, x^{2} + 27 \, x + 36=0 \Leftrightarrow x= \frac{ -27 \pm \sqrt{729-1296}}{18}\,,$$ conclui-se que o polinómio $9 \, x^{2} + 27 \, x + 36$ não tem raízes reais.
Assim, $p_2$ só admite a raiz real $-6$ e, para fatorização de $p_2$, obtém-se $$p_2(x)=(x + 6)(9 \, x^{2} + 27 \, x + 36).$$
