Funções polinomiais: resolução
Para determinar os zeros de cada uma das funções resolvem-se as equações $f(x)=0$, $g(x)=0$ e $h(x)=0$.
Aplicando a fórmula resolvente, $\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, resulta que
- $f(x)=0 \Leftrightarrow -x^{2} + 11 \, x - 28=0 \Leftrightarrow x=4 \vee x=7$;
- $g(x)=0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 \, x + 1=0 \Leftrightarrow x=-1$;
- A função $h(x)$ não tem zeros.
O gráfico de uma função quadrática, $f(x)=ax^2+bx+c$ com $a \ne 0$, é uma parábola com a concavidade
- voltada para cima (convexa) se $a >0$;
- voltada para baixo (côncava) se $a<0$
e que
- interseta o eixo das abcissas em dois pontos se a função tiver duas raízes reais;
- interseta o eixo $Ox$ num só ponto se a função apenas admite uma raiz real;
- não interseta o eixo das abcissas se a função não admite raízes reais.
O vértice da parábola é o ponto $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)$.
A função $f$ interseta o eixo das abcissas nos pontos $(4,0)$ e $(7,0)$. O seu vértice é o ponto $\displaystyle \left(\frac{11}{2},\frac{9}{4}\right)$.
Como $a=-1$ é negativo, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
A função $g$ apenas interseta o eixo das abcissas em $(-1,0)$, e este é o vértice da parábola que a representa graficamente.
Como $a=1$ é positivo, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
A função $h$ não interseta o eixo das abcissas. O vértice da parábola é o ponto $\displaystyle \left(-5,7\right)$.
Como $a=7$ é positivo, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
