Propriedades dos limites infinitos
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| − | + | * $-(+\infty)=(-\infty)$ | |
| − | + | * $(+\infty)+(+\infty)=(+\infty)$ | |
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| − | + | * $\infty\cdot a=\infty,\; \textrm{se}\; a\neq0$ | |
| − | $\ | + | * $\displaystyle \frac{1}{0^+}=+\infty$ & $\displaystyle \frac{1}{0^-}=-\infty $ |
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| − | + | No produto de limites infinitos é válida a regra de sinais usada no produto de números reais. | |
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$$\frac{0}{0},\;\frac{\infty}{\infty},\; \infty \cdot 0,\;+\infty - \infty,\;+\infty^0, \;0^0,\;1^\infty.$$ | $$\frac{0}{0},\;\frac{\infty}{\infty},\; \infty \cdot 0,\;+\infty - \infty,\;+\infty^0, \;0^0,\;1^\infty.$$ | ||
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Indeterminação & \textbf{Limites Notáveis}\\ \hline | Indeterminação & \textbf{Limites Notáveis}\\ \hline | ||
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$\frac{0}{0}$ & \begin{tabular}{cccc} | $\frac{0}{0}$ & \begin{tabular}{cccc} | ||
| − | $\ | + | $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ \hspace{3mm} & $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\cos x -1}{x}= 0$\hspace{3mm} & |
| − | $\ | + | $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln{(x+1)}}{x}= 1$\hspace{3mm} & $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^x -1}{x}= 1$\\ |
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| − | $1^{\infty}$ & $\ | + | $1^{\infty}$ & $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x= e^a, a \in \mathbb{R}$ \\ |
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$\frac{\infty}{\infty}$ & \begin{tabular}{ll} | $\frac{\infty}{\infty}$ & \begin{tabular}{ll} | ||
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| − | $\ | + | $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\frac{e^x}{x^p}= + \infty$, $p \in \mathbb{R}$ & \hspace{2cm} |
| − | $\ | + | $\displaystyle \lim_{x \to + |
\infty}\frac{\ln x}{x^p}= 0$, $p\in\mathbb R^+$\\ | \infty}\frac{\ln x}{x^p}= 0$, $p\in\mathbb R^+$\\ | ||
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| − | $0 \cdot \infty $ & $\ | + | $0 \cdot \infty $ & $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}x^p\ln{x}=0$, $p \in \mathbb{R}^+$ \\ |
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Revision as of 18:55, 14 November 2012
O teorema da unicidade do limite enunciado anteriormente para limites finitos pode generalizar-se a limites infinitos.
As propriedades aritméticas dos limites finitos poderão também ser generalizadas a limites infinitos depois de estabelecida uma aritmética dos limites infinitos.
Aritmética dos limites
No caso em que a aplicação das propriedades do limite conduzam a resultados do tipo descrito abaixo, por abuso de linguagem escreve-se
- $-(+\infty)=(-\infty)$
- $(+\infty)+(+\infty)=(+\infty)$
- $(-\infty)+(-\infty)=(-\infty)$
- $(\pm\infty)+a=(\pm\infty)$
- $\infty\cdot\infty=\infty$
- $\infty\cdot a=\infty,\; \textrm{se}\; a\neq0$
- $\displaystyle \frac{1}{0^+}=+\infty$ & $\displaystyle \frac{1}{0^-}=-\infty $
- $\displaystyle \frac{1}{\infty}=0$
- $\displaystyle 0^{+\infty}=0$
- $\displaystyle 0^{-\infty}=+\infty$
No produto de limites infinitos é válida a regra de sinais usada no produto de números reais.
No caso de sermos conduzidos a um destes tipos
$$\frac{0}{0},\;\frac{\infty}{\infty},\; \infty \cdot 0,\;+\infty - \infty,\;+\infty^0, \;0^0,\;1^\infty.$$
diz-se que temos uma indeterminação.
Se no cálculo de um limite, surgir uma indeterminação, tal não significa que o
limite não exista. Dever-se-á proceder à manipulação da expressão analítica da
função em estudo por forma a averiguar a existência, ou não, desse limite.
Alguns limites que conduzem a indeterminações são designados limites notáveis e são fundamentais no cálculo de limites.
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
Indeterminação & \textbf{Limites Notáveis}\\ \hline
& \\
UNIQ742d43e31ea75fcb-MathJax-13-QINU & \begin{tabular}{cccc}
UNIQ742d43e31ea75fcb-MathJax-14-QINU \hspace{3mm} & UNIQ742d43e31ea75fcb-MathJax-15-QINU\hspace{3mm} &
UNIQ742d43e31ea75fcb-MathJax-16-QINU\hspace{3mm} & UNIQ742d43e31ea75fcb-MathJax-17-QINU\\
& \\
\end{tabular}\\ \hline
& \\
$1^{\infty}$ & $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x= e^a, a \in \mathbb{R}$ \\
& \\ \hline
$\frac{\infty}{\infty}$ & \begin{tabular}{ll}
& \\
UNIQ742d43e31ea75fcb-MathJax-21-QINU, UNIQ742d43e31ea75fcb-MathJax-22-QINU & \hspace{2cm}
UNIQ742d43e31ea75fcb-MathJax-23-QINU, UNIQ742d43e31ea75fcb-MathJax-24-QINU\\
& \\
\end{tabular} \\ \hline
& \\
$0 \cdot \infty $ & $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}x^p\ln{x}=0$, $p \in \mathbb{R}^+$ \\ & \\ \hline \end{tabular}
