Propriedades dos limites infinitos
O teorema da unicidade do limite enunciado anteriormente para limites finitos pode generalizar-se a limites infinitos.
As propriedades aritméticas dos limites finitos poderão também ser generalizadas a limites infinitos depois de estabelecida uma aritmética dos limites infinitos.
Aritmética dos limites
No caso em que a aplicação das propriedades do limite conduzam a resultados do tipo descrito abaixo, por abuso de linguagem escreve-se
- $-(+\infty)=(-\infty)$
- $(+\infty)+(+\infty)=(+\infty)$
- $(-\infty)+(-\infty)=(-\infty)$
- $(\pm\infty)+a=(\pm\infty)$
- $\infty\cdot\infty=\infty$
- $\infty\cdot a=\infty,\; \textrm{se}\; a\neq0$
- $\displaystyle \frac{1}{0^+}=+\infty$
- $\displaystyle \frac{1}{0^-}=-\infty $
- $\displaystyle \frac{1}{\infty}=0$
- $\displaystyle 0^{+\infty}=0$
- $\displaystyle 0^{-\infty}=+\infty$
No produto de limites infinitos é válida a regra de sinais usada no produto de números reais.
No caso de sermos conduzidos a um destes tipos
$$\frac{0}{0},\;\frac{\infty}{\infty},\; \infty \cdot 0,\;+\infty - \infty,\;+\infty^0, \;0^0,\;1^\infty.$$
diz-se que temos uma indeterminação.
Se no cálculo de um limite, surgir uma indeterminação, tal não significa que o
limite não exista. Dever-se-á proceder à manipulação da expressão analítica da
função em estudo por forma a averiguar a existência, ou não, desse limite.
Alguns limites que conduzem a indeterminações são designados limites notáveis e são fundamentais no cálculo de limites.
| Indeterminação | Limites notáveis | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| $\frac{0}{0}$ |
| ||||
| $1^{\infty}$ | $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x= e^a, a \in \mathbb{R}$ | ||||
| $\frac{\infty}{\infty}$ |
| ||||
| $0 \cdot \infty $ | $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}x^p\ln{x}=0$, $p \in \mathbb{R}^+$ |
