Exemplos 11

Latest revision as of 16:00, 15 November 2012

[edit] Exemplo 1

Considere a sucessão de termo geral $u_n=(-1)^n$.

1. Calcule os primeiros termos da sucessão.

2. Mostre que todos os termos de ordem par são positivos. 3. Esboce o gráfico da sucessão.

Resolução

1. Substituindo no termo geral $n$ por $1$, obtemos $$u_1=(-1)^1=-1.$$ Logo o primeiro termo é $-1$. Para determinar o segundo termo, substituímos $n$ por $2$. Assim sendo, $$u_2=(-1)^2=1.$$ Repetindo o processo, os primeiros termos da sucessão dada são $$-1,1,-1,1,-1,1,-1, \ldots$$

2. Se $n$ é um número par, então pode ser escrito na forma $n=2k$, para algum $k \in \mathbb{N}$. Portanto $$u_n=u_{2k}=(-1)^{2k}=((-1)^2)^k=1^k=1$$ que é positivo.

3. O gráfico da sucessão é

[edit] Exemplo 2

Dada a sucessão real $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ definida por $\displaystyle a_n=\frac{2n-9}{n+3}$,

1. Determine o termo de ordem $8$.

2. Averigúe se $5/2$ é termo da sucessão.

3. Mostre que, se $n>10$, então $a_n>0$.

Resolução

1. Basta substituir $n$ por $8$ no termo geral: $$a_8=\frac{2\cdot 8-9}{8+3}=\frac{7}{11}.$$ Logo o $8°$ termo é $\frac7{11}$.

2. Pretende-se saber se existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $a_n=5/2$. Para tal, devemos resolver a equação $$\frac{2n-9}{n+3}=\frac{5}{2}, \mbox{ com } n \in \mathbb{N}.$$ Então $$\frac{2n-9}{n+3}=\frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{4n-18-5n-15}{n+3}=0 \Leftrightarrow \frac{-n-33}{n+3}=0 \Leftrightarrow n=-33 \wedge n \not= -3 .$$ Como $-33 \notin \mathbb{N}$, a equação anterior é impossível em $\mathbb{N}$ e concluímos que $5/2$ não é termo da sucessão.

3. Se $n>10$, então $2n-9>2 \cdot 10-9=11$ e $n+3>10+3=13$. Logo, para $n>10$, as expressões $2n-9$ e $n+3$ são positivas e atendendo a que o quociente de dois números positivos é ainda um número positivo, provámos o pretendido.

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