Equações com módulos
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$$\displaystyle \vert f(x)\vert = \vert g(x)\vert \Leftrightarrow [f(x)]^2 = [g(x)]^2$$ | $$\displaystyle \vert f(x)\vert = \vert g(x)\vert \Leftrightarrow [f(x)]^2 = [g(x)]^2$$ | ||
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Considere-se a equação $\displaystyle \vert x-4\vert=\frac{1}{2}\vert2x-1\vert$. Elevando ambos os membros ao quadrado obtém-se | Considere-se a equação $\displaystyle \vert x-4\vert=\frac{1}{2}\vert2x-1\vert$. Elevando ambos os membros ao quadrado obtém-se | ||
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Revision as of 14:18, 16 November 2012
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Equações com Módulos
Resolução de equações tipo $\left\vert f(x) \right\vert = g(x)$
Note-se que se $g(x)<0$, a equação $\vert f(x) \vert = g(x)$ é impossível em $\mathbb{R}$. Se $g(x)\ge 0$ a equação é equivalente a $$ \vert f(x) \vert = g(x) \Leftrightarrow \left[ f(x)=g(x) \lor f(x)=-g(x)\right]$$
Resolução de equações do tipo $\vert f(x) \vert = \vert g(x) \vert$
$$\displaystyle \vert f(x)\vert = \vert g(x)\vert \Leftrightarrow [f(x)]^2 = [g(x)]^2$$ Outro caso em que também se pode usar a técnica do "elevar ao quadrado ambos os membros", é nas equações que envolvem dois módulos. Nestas situações não se inserem novas soluções, ou seja, as soluções obtidas depois de se elevar ao quadrado ambos os membros são as mesmas da equação inicial.
Exemplo
Considere-se a equação $\displaystyle \vert x-4\vert=\frac{1}{2}\vert2x-1\vert$. Elevando ambos os membros ao quadrado obtém-se \begin{align*} \vert x-4\vert=\frac{1}{2}\vert2x-1\vert & \Leftrightarrow (x-4)^2=\left(\frac{1}{2}(2x-1)\right)^2 & \\ & \Leftrightarrow x^2-8x+16=\frac{1}{4}(4x^2-4x+1) & \\ & \Leftrightarrow x^2-8x+16=x^2-x+\frac{1}{4} & \\ & \Leftrightarrow x^2-8x+16-x^2+x-\frac{1}{4}=0 & \\ & \Leftrightarrow -7x+\frac{63}{4}=0 \Leftrightarrow -7x=-\frac{63}{4} & \\ & \Leftrightarrow x=\frac{63}{28}. & \end{align*}
Exercícios Propostos
Determine, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes equações.
- $3\vert x+1\vert-2=-11$
- $\vert 3x-2 \vert+3=7$
- $\vert 5x-1 \vert=6x$ & (d) $\vert x+1 \vert-2x=8x+3$
- $\vert x-2\vert =\vert x+5\vert$ & (f) $\vert x+1 \vert-2\vert x-3\vert=0$
