Resolução de outras equações
Resolução de outras equações
Um processo muito usado na resolução de equações é usar a decomposição em fatores seguida da lei do anulamento do produto.
Lei do anulamento do produto: O produto de dois ou mais fatores é nulo se e só se pelo menos um dos fatores é nulo, ou seja,
$$a b \cdots z =0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0 \lor \cdots \lor z=0$$
Outras equações
Considere-se a equação $x^4+x^2-12=0$.
Apesar de se tratar de uma equação do 4º grau, onde não se encontra nenhum fator comum para colocar em evidência, pode-se resolver como sendo uma equação do 2º grau. Repare-se que
\[ x^4+x^2-12=0 \Leftrightarrow \left(x^2\right)^2+x^2-12=0 \] Se se fizer uma mudança de variável $y=x^2$ e se aplicar a fórmula resolvente obtém-se \begin{align*} y^2+y-12=0 & \Leftrightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1} & \\ & \Leftrightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2} & \\ & \Leftrightarrow y=\frac{-1+7}{2} \lor y=\frac{-1-7}{2} & \\ & \Leftrightarrow y=3 \lor y=-4. & \end{align*} Como $y=x^2$ tem-se que $x^2=3 \lor x^2=-4$. A equação $x^2=-4$ é impossível. Donde as soluções da equação dada são as mesmas da equação $x^2=3$.
\begin{align*} x^2=3 & \Leftrightarrow x^2-3=0 \Leftrightarrow (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0, \mbox{ é a diferença de quadrados} & \\ & \Leftrightarrow x-\sqrt{3}=0\lor x+\sqrt{3}=0, \mbox{ pela lei do anulamento do produto} & \\ & \Leftrightarrow x=\sqrt{3} \lor x=-\sqrt{3} \end{align*}
