Limites infinitos e limites no infinito

From Matemática
(Difference between revisions)
Jump to: navigation, search
(Created page with "Diz-se que '''$f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $a$ em $D$''', $$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty,$$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, ...")
 
 
(9 intermediate revisions by one user not shown)
Line 1: Line 1:
−
Diz-se que '''$f$ tem limite $+\infty$ quando  $x$ tende para $a$ em $D$''',
+
Diz-se que '''$f$ tem limite $+\infty$ quando  $x$ tende para $a$ em $D$''', $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty,$
−
$$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty,$$
+
 
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos
 
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos
−
de $D$, distintos de $a$, que tende para $a$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=a$), a correspondente
+
de $D$, distintos de $a$, que tende para $a$, a correspondente
−
sucessão das imagens
+
sucessão das imagens  $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$.
−
  $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$).\\
+
  
−
\vspace{0,5cm}
+
$$\displaystyle  \lim_{n \to +\infty}x_n=a \Rightarrow  \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$$
  
−
\textbf{Definição:}
+
Diz-se que '''$f$ tem limite $l$ quando  $x$ tende para $+\infty$ em $D$''', $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=l,$
−
Diz-se que \textit{\textbf{$f$ tem limite $l$ quando  $x$ tende para $+\infty$ em $D$}},
+
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$ , a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $l$, .
−
$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=l,$$
+
−
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos
+
−
de $D$, que tende para $+\infty$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty$),
+
−
a correspondente
+
−
sucessão das imagens
+
−
$\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $l$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=l$).\\
+
  
−
\vspace{0,5cm}
+
$$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty \Rightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=l $$
  
−
\textbf{Definição:}
+
Diz-se que '''$f$ tem limite $+\infty$ quando  $x$ tende para $+\infty$ em $D$''', $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$, a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$.
−
Diz-se que \textit{\textbf{$f$ tem limite $+\infty$ quando  $x$ tende para $+\infty$ em $D$}},
+
 
−
$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,$$
+
$$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty  \Rightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$$
−
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos
+
 
−
de $D$, que tende para $+\infty$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty$),
+
Definem-se de modo análogo $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty$,  $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=l$, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ e $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.
−
a correspondente
+
−
sucessão das imagens
+
−
$\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para
+
−
$+\infty$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$).\\
+
  
−
\vspace{0,5cm}
 
−
Definem-se de modo análogo $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty$,  $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=l$,
 
−
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$,
 
−
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ e $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.\\
 
  
−
\vspace{0,5cm}
+
Convém sublinhar que $+\infty$ e $-\infty$ não são números reais e quando $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = +\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = -\infty$, diz-se que não existe em $\mathbb{R}$ o limite de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$.
−
Convém sublinhar que $+\infty$ e $-\infty$ não são números reais e quando
+
−
$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = +\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = -\infty$, diz-se que não existe em $\mathbb{R}$ o limite de $f(x)$
+
−
quando $x$ tende para $a$.\\
+
  
−
\subsubsection*{Exercício resolvido}
+
[[Exemplo 24|Exemplo]]
−
Vejamos que não existe $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\sin x$.\\
+
−
Se considerarmos as
+
−
sucessões $x_n=2n\pi$ e $y_n=2n\pi+\frac{\pi}{2}$, ambas são infinitamente grandes, ou seja,
+
−
tendem para $+\infty$, no entanto, tem-se:
+
−
$$\sin(x_n)=\sin(2n\pi)=0\to0$$
+
−
e
+
−
$$\sin(y_n)=\sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1\to1.$$
+
−
Se o limite existisse, seria único e portanto qualquer sucessão  $(f(x_n))_n$ deveria convergir para esse limite, independentemente da escolha da sucessão $(x_n)_n$.
+
  
−
\vspace{0.1cm}
+
[[Matemática Elementar#Limites e continuidade|Voltar]]     [[Propriedades dos limites infinitos|Seguinte]]
−
De forma análoga se prova que \textbf{não existem} os seguintes limites:\\
+
−
\[
+
−
\lim_{x \to -\infty}\sin x,
+
−
\hspace{5mm}
+
−
\lim_{x \to +\infty}\cos x,
+
−
\hspace{5mm}
+
−
\lim_{x \to -\infty}\cos x,
+
−
\hspace{5mm}
+
−
\lim_{x \to +\infty}\tan x,
+
−
\hspace{5mm}
+
−
\lim_{x \to -\infty}\tan x.
+
−
\]
+

Latest revision as of 10:28, 19 November 2012

Diz-se que $f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $a$ em $D$, $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty,$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, distintos de $a$, que tende para $a$, a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$.

$$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=a \Rightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$$

Diz-se que $f$ tem limite $l$ quando $x$ tende para $+\infty$ em $D$, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=l,$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$ , a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $l$, .

$$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty \Rightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=l $$

Diz-se que $f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $+\infty$ em $D$, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$, a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$.

$$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty \Rightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$$

Definem-se de modo análogo $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=l$, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ e $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.


Convém sublinhar que $+\infty$ e $-\infty$ não são números reais e quando $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = +\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = -\infty$, diz-se que não existe em $\mathbb{R}$ o limite de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$.

Exemplo

Voltar     Seguinte

Retrieved from "http://wikis.ua.pt/matematica/index.php?title=Limites_infinitos_e_limites_no_infinito&oldid=1688"
Personal tools
Namespaces

Variants
Actions
Navigation
Toolbox