Limites infinitos e limites no infinito

Latest revision as of 10:28, 19 November 2012

Diz-se que $f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $a$ em $D$, $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty,$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, distintos de $a$, que tende para $a$, a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$.

$$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=a \Rightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$$

Diz-se que $f$ tem limite $l$ quando $x$ tende para $+\infty$ em $D$, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=l,$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$ , a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $l$, .

$$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty \Rightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=l $$

Diz-se que $f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $+\infty$ em $D$, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$, a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$.

$$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty \Rightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$$

Definem-se de modo análogo $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=l$, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ e $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.

Convém sublinhar que $+\infty$ e $-\infty$ não são números reais e quando $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = +\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = -\infty$, diz-se que não existe em $\mathbb{R}$ o limite de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$.

Exemplo

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