Exemplos 7

From Matemática
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===Exemplo 1===
 
===Exemplo 1===
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Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:\\
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Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:
−
\begin{tabular}{lll}
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\textbf{1.} $\DS \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-3}$ & \textbf{2.} $\DS \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}$ & \textbf{3.} $\DS \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2-x}$\\
+
−
& & \\
+
−
\textbf{4.} $\DS \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1}$ & \textbf{5.} $\DS \lim_{x \to 2} \ln(x-2)$ & \textbf{6.} $\DS \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$\\
+
−
\end{tabular}\\
+
  
−
\textbf{Resolução:}
+
'''1.''' $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-3}$  
−
\begin{enumerate}
+
−
\item $\DS \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-3}=0$ (porque $\DS \lim_{x \to +\infty} (x-3)=+\infty$ e o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo).
+
−
\item $\DS \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}=?$\\
+
  
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\vspace{0,1cm}
+
'''2.''' $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}$  
−
Vamos calcular os limites laterais:\\
+
−
$\DS \lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x-3}=-\infty$ (como $x \to 3^-$ tem-se $(x-3)\to 0^-$ e ``$\frac{1}{0^-}=-\infty$'')\\
+
−
$\DS \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x-3}=\frac{1}{0^+}=+\infty$ (tem-se $(x-3)\to 0^+$ e ``$\frac{1}{0^+}=+\infty$'')\\
+
  
−
\vspace{0,1cm}
+
'''3.''' $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2-x}$
−
Como os limites laterais são diferentes, não existe $\DS \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}$.\\
+
  
−
\vspace{0,1cm}
+
'''4.''' $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1}$  
−
(Para determinarmos se um limite tende para $0$ por valores à direita ($0^+$) ou por valores à esquerda ($0^-$), basta termos em conta o sinal da
+
−
função à direita e à esquerda de 0. Neste caso a função $y=x-3$ é
+
−
positiva para valores superiores a 3 e negativa para valores inferiores a 3.)
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'''5.''' $\displaystyle \lim_{x \to 2} \ln(x-2)$
  
 +
'''6.''' $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$
  
−
\item  $\DS \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2-x}=+\infty$ (é ``$\frac{1}{0^+}$'' porque a função
+
[[Resolução 9|Resolução]]
−
$y=2-x$ é positiva à esquerda de 2).
+
 
−
\item $\DS \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1}=-\infty$ (é ``$\frac{1}{0^-}$'' porque a função
+
===Exemplo 2===
−
$y=x^2-1$ é negativa para valores à direita de $-1$ que estão próximos de $-1$. O gráfico da função $y=x^2-1$ é uma parábola com a concavidade voltada para cima).
+
Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:
−
\item $\DS \lim_{x \to 2} \ln(x-2)=\DS \lim_{x \to 2^+} \ln(x-2)=-\infty$\\
+
 
−
(Note-se que função só está definida à direita de 2 e ``$\ln(0^+)=-\infty$'').
+
'''1.''' $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{3^{x} - 2^{x}}{3^{x+1}+ 2^{x-3}}$  
−
\item $\DS \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}=?$\\
+
 
−
\vspace{0,1cm}
+
'''2.''' $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2-x-10}{x^2-x-2}$  
−
Vamos determinar os limites laterais quando $x$ tende para $0$:\\
+
 
−
$\DS \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}}=+\infty$ \qquad($\DS\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$ e ``$e^{+\infty}=+\infty$'')\\
+
'''3.''' $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$
−
$\DS \lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}}=0$ \qquad($\DS \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$ e ``$e^{-\infty}=0$'')\\
+
 
−
Como os limites laterais são diferentes, não existe $\DS \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$.
+
'''4.''' $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1-\cos(t)}{\sin(t)}$
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\end{enumerate}
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'''5.''' $\displaystyle \lim_{t \to 2} \frac{e^{2t-4}-1}{t-2}$
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'''6.''' $\displaystyle \lim_{t \to +\infty}x^2\sin\frac{1}{x}$  
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'''7.''' $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}xe^x$
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'''8.''' $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x}-\sqrt{x+1}\right)$
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'''9.''' $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\ln(3x^2+2)-\ln (x^2)\right)$
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'''10.''' $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\frac{\cos(x)}{1-\sin(x)}$
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[[Resolução 10|Resolução]]
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===Exemplo 3===
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'''Levantamento de indeterminações do tipo $\infty^0,\;0^0,\;1^\infty$'''
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Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:
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'''1.''' $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$  
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'''2.'''  $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}$  
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'''3.'''  $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x^x$
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[[Resolução 11|Resolução]]
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[[Propriedades dos limites infinitos|Voltar]]

Latest revision as of 10:29, 19 November 2012

[edit] Exemplo 1

Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:

1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-3}$

2. $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2-x}$

4. $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1}$

5. $\displaystyle \lim_{x \to 2} \ln(x-2)$

6. $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$

Resolução

[edit] Exemplo 2

Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:

1. $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{3^{x} - 2^{x}}{3^{x+1}+ 2^{x-3}}$

2. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2-x-10}{x^2-x-2}$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$

4. $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1-\cos(t)}{\sin(t)}$

5. $\displaystyle \lim_{t \to 2} \frac{e^{2t-4}-1}{t-2}$

6. $\displaystyle \lim_{t \to +\infty}x^2\sin\frac{1}{x}$

7. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}xe^x$

8. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x}-\sqrt{x+1}\right)$

9. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\ln(3x^2+2)-\ln (x^2)\right)$

10. $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\frac{\cos(x)}{1-\sin(x)}$

Resolução

[edit] Exemplo 3

Levantamento de indeterminações do tipo $\infty^0,\;0^0,\;1^\infty$

Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:


1. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$ 2. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}$ 3. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x^x$


Resolução

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