Resolução de outras equações

Revision as of 14:06, 16 October 2012

Resolução de outras Equações

Um processo muito usado na resolução de equações é usar a decomposição em fatores seguida da lei do anulamento do produto. Lei do anulamento do produto

 O produto de dois ou mais factores é nulo se e  só se pelo menos um dos factores é nulo, ou seja,  $$  a b \cdots z =0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0 \lor \cdots \lor z=0$  
  

\noindent\textbf{Exemplo: } A lei do anulamento do produto permite determinar o conjunto solução da equação
\[
\frac{1}{2}(7-3x)(5-x)(x+1)=0.
\]
Aplicando a lei do anulamento do produto vem que
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}(7-3x)(5-x)(x+1)=0 & \sse & \underbrace{\frac{1}{2}=0}_{\F} \ \lor \ 7-3x=0 \ \lor \ 5-x=0 \ \lor \ x+1=0 \\
& \sse & \ x=\frac{7}{3} \ \lor \ x=5 \ \lor \ x=-1
\end{eqnarray*}
Recorde-se que $\F \lor {\cal C}\sse {\cal C}$, qualquer que seja a condição $\cal C$. Assim o conjunto solução é $\DS \left\{-1,\frac{7}{3},5\right\}$.



\noindent Outros processos de \textbf{resolução de outro tipo de equações} serão exemplificados.

\bigskip

\noindent \textbf{Exemplo 1:} Considere-se a equação $x^4+x^2-12=0$.
Apesar de se tratar de uma equação do 4º grau, onde não se encontra nenhum factor comum para colocar em evidência, pode-se resolver como sendo uma equação do 2º grau. Repare-se que
\[
x^4+x^2-12=0 \sse \left(x^2\right)^2+x^2-12=0
\]
Se se fizer uma mudança de variável $y=x^2$ e se aplicar a fórmula resolvente obtém-se
\begin{align*}
y^2+y-12=0 & \sse y=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1} & \\
                & \sse y=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2} & \\
                & \sse y=\frac{-1+7}{2} \lor y=\frac{-1-7}{2} & \\
                & \sse y=3 \lor y=-4. &
\end{align*}
Como $y=x^2$ tem-se que $x^2=3 \lor x^2=-4$. A equação $x^2=-4$ é impossível. Donde as soluções da equação dada são as mesmas da equação $x^2=3$.
\begin{align*}
x^2=3 & \sse x^2-3=0 \sse (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0, \mbox{ é a diferença de quadrados} & \\
& \sse x-\sqrt{3}=0\lor x+\sqrt{3}=0, \mbox{ pela lei do anulamento do produto} & \\
& \sse  x=\sqrt{3} \lor x=-\sqrt{3}
\end{align*}

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\noindent \textbf{Exemplo 2: } Pretende-se determinar o conjunto solução da equação
\[
\frac{1}{x-2}+\frac{x}{3x+6}=\frac{4}{x^2-4}.
\]
Para simplificar a equação tem que se determinar o menor denominador comum às três fracções, pelo que, começa-se por decompor os denominadores em factores.
Como $3x+6=3(x+2)$ e $x^2-4=(x-2)(x+2)$, tem-se que
\begin{align*}
\frac{1}{x-2}+\frac{x}{3x+6}=\frac{4}{x^2-4} & \sse \frac{1}{x-2}+\frac{x}{3(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}=0 & \\
& \sse \frac{3(x+2)}{3(x+2)(x-2)}+\frac{x(x-2)}{3(x+2)(x-2)}-\frac{12}{3(x-2)(x+2)}=0 & \\
& \sse \frac{3x+6+x^2-2x-12}{3(x+2)(x-2)}=0 & \\
& \sse \frac{x^2+x-6}{3(x+2)(x-2)}=0 & \\
\intertext{Sabe-se que
\[
\begin{tabular}{|c|}
  \hline
  $$\textbf{No domínio da expressão, uma fracção é nula se e só se o seu numerador é nulo.} \\
 \hline

\end{tabular} \] Assim} & \sse x^2+x-6=0 \land 3(x+2)(x-2)\neq 0 & \\ & \sse x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2} \land \left(3\neq0 \land x+2\neq0 \land x-2\neq0 \right) & \\ & \sse \left(x=2 \lor x=-3\right) \land \left(x\neq 2 \land x\neq -2\right) & \\ & \sse x=-3 \end{align*} Note-se que $2$ não pertence ao domínio da expressão donde não pode ser solução. O conjunto solução da equação dada é $\{-3\}$.

\subsubsection*{Exercícios Propostos} Determina, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes equações.\\

\begin{tabular}{ll} (a) UNIQ155f6ff91195808f-MathJax-5-QINU \ \ \ \ & (b) UNIQ155f6ff91195808f-MathJax-6-QINU \\ & \\ (c) UNIQ155f6ff91195808f-MathJax-7-QINU & (d) UNIQ155f6ff91195808f-MathJax-8-QINU\\ & \\ (e) UNIQ155f6ff91195808f-MathJax-9-QINU & (f) UNIQ155f6ff91195808f-MathJax-10-QINU\\ \end{tabular}