Exemplo 15

From Matemática
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Um cabo suspenso por dois pilares, com a mesma altura, faz uma curva com a forma de uma parábola. A fórmula
\includegraphics[width=2.7in]{cabos}
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\end{floatingfigure}\noindent Um cabo suspenso por dois pilares, com a mesma altura, faz uma curva com a forma de uma parábola. A fórmula
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$$h(s)=\frac{1}{2}s^2-4s+10$$
 
$$h(s)=\frac{1}{2}s^2-4s+10$$
 
permite calcular a altura do cabo relativamente ao solo ($h$) em função da distância entre os pilares ($s$). A unidade de medida é o metro.
 
permite calcular a altura do cabo relativamente ao solo ($h$) em função da distância entre os pilares ($s$). A unidade de medida é o metro.
  
\begin{enumerate}
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[[File:cabos1.jpg]]
    \item Qual é a altura dos pilares?
+
 
\item A que distância se encontram os pilares?
+
# Qual é a altura dos pilares?
\item Determine os valores de $s$ para os quais a altura é inferior a 8m.\end{enumerate}
+
# A que distância se encontram os pilares?
\subsubsection*{Resposta}
+
# Determine os valores de $s$ para os quais a altura é inferior a 8m.
\begin{enumerate}
+
 
    \item A altura dos pilares corresponde a $h(0)=10m$, posição onde está o primeiro pilar.
+
[[Resposta]]
\item Para que a altura do cabo volte a ser $10m$, vamos determinar as soluções da equação $h(s)=10$:
+
 
$$h(s)=10 \Leftrightarrow \frac{1}{2}s^2-4s+10=10\Leftrightarrow \frac{1}{2}s^2-4s=0\Leftrightarrow s\left(\frac{1}{2}s-4\right)=0\Leftrightarrow s=0 \vee s=8$$
+
[[Funções polinomiais|Voltar]]
Portanto, a distância entre os dois pilares é $8m$.
+
\item O cabo encontra-se a uma altura inferior a $8m$ para valores de $s$ que satisfaçam a inequação $h(s)<8$:
+
$$h(s)<8\Leftrightarrow \frac{1}{2}s^2-4s+10 <8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}s^2-4s+2 < 0.$$
+
Determinando as soluções da equação $\DS \frac{1}{2}s^2-4s+2 =0$, obtemos as soluções da inequação pedida. Como
+
$$\DS \frac{1}{2}s^2-4s+2 =0\Leftrightarrow s=4\pm \sqrt{12}$$
+
Resulta que
+
$$\frac{1}{2}s^2-4s+2 <0 \Leftrightarrow 4-\sqrt{12} < s < 4+\sqrt{12}.$$\end{enumerate}
+

Latest revision as of 15:00, 6 November 2012

Um cabo suspenso por dois pilares, com a mesma altura, faz uma curva com a forma de uma parábola. A fórmula $$h(s)=\frac{1}{2}s^2-4s+10$$ permite calcular a altura do cabo relativamente ao solo ($h$) em função da distância entre os pilares ($s$). A unidade de medida é o metro.

Cabos1.jpg

  1. Qual é a altura dos pilares?
  2. A que distância se encontram os pilares?
  3. Determine os valores de $s$ para os quais a altura é inferior a 8m.

Resposta

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