Funções polinomiais
Funções polinomiais
Toda a função cuja expressão analítica é um polinómio diz-se função polinomial. $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_1x+a_0, \mbox{ com }a_n,a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 \mbox{ constantes reais}.$$ Uma função polinomial é uma função de domínio $\mathbb{R}$. Se $a_n \ne 0$ a função polinomial diz-se ter grau $n$. Uma função afim é uma função polinomial de grau 1.
Se $f$ tem grau ímpar o seu contradomínio é $\mathbb{R}$ e se $f$ tem grau par o seu contradomínio é um intervalo da forma $]-\infty , \alpha ]$ se $a_n < 0$, ou $[ \beta , + \infty [$ se $a_n > 0$.
Polinomial de grau par com $a_n >0$ e Polinomial de grau par com $a_n <0$
Polinomial de grau ímpar com $a_n >0$ e polinomial de grau ímpar com $a_n <0$
A determinação de raízes (zeros) de polinómios reveste-se de grande importância daí que surja o seguinte teorema
Um polinómio de grau $n> 0$ tem no máximo $n$ raízes em $\mathbb{R}$ (não necessariamente distintas).
O polinómio $p(x)=x^4-2x^2+1$ tem duas raízes reais. Observe-se que $x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2$ e portanto $$x^4-2x^2+1=0 \Leftrightarrow (x^2-1)^2=0 \Leftrightarrow x^2-1=0 \Leftrightarrow (x-1)(x+1)=0 \Leftrightarrow x=1 \vee x=-1$$ A decomposição deste polinómio pode ainda ser escrita na forma $x^4-2x^2+1=(x-1)^2(x+1)^2$.
Das funções polinomiais mais utilizadas, destaca-se a função quadrática, $f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ (polinómio de $2^o$ grau).
O estudo destas funções é remetido para a secção polinómios. Contudo, a título de exemplo apresenta-se o seguinte Exemplo
