Identidades trigonométricas
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Por exemplo, | Por exemplo, | ||
| − | $\sin (x)=\frac12\Leftrightarrow x= \frac{\pi}{6} + 2k \pi \vee | + | $$\sin (x)=\frac12\Leftrightarrow x= \frac{\pi}{6} + 2k \pi \vee |
| − | x=\pi - \frac{\pi}{6} + 2k \pi = \frac{5\pi}{6} + 2k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}$ | + | x=\pi - \frac{\pi}{6} + 2k \pi = \frac{5\pi}{6} + 2k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}$$ |
| − | + | Atendendo a que $\cos{\alpha}=\cos{(-\alpha)}$ e ao período da função cosseno ($2\pi$), a solução geral da equação $\cos x=\cos \alpha$ é: | |
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| − | + | Por exemplo, as soluções da equação $\displaystyle \cos{x}=-\frac{1}{2}$ são obtidas usando o facto de que $$\cos{\frac{2\pi}{3}}=\cos{\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)}=-\cos{\frac{\pi}{3}}.$$ Assim, | |
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$$\cos{x}=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2k\pi, \mbox{ com }k \in \mathbb{Z}$$ | $$\cos{x}=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2k\pi, \mbox{ com }k \in \mathbb{Z}$$ | ||
Como a função tangente é periódica de período $\pi$, a solução geral da equação $\tan x=\tan \alpha$ é: | Como a função tangente é periódica de período $\pi$, a solução geral da equação $\tan x=\tan \alpha$ é: | ||
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[edit] Identidades trigonométricas
Verificam-se as seguintes identidades, qualquer que seja $x \in \mathbb{R}$: $$ \begin{array}{lll} \sin{\left(\frac{\pi}{2}- x \right)}= \cos{x} & \cos{\left(\frac{\pi}{2}- x \right)}= \sin{x} & \sin{\left(\pi- x \right)}= \sin{x} \\ & & \\ \cos{\left(\pi- x \right)}= -\cos{x} & \sin{\left(\pi+ x \right)}= -\sin{x} & \cos{\left(\pi+ x \right)}= -\cos{x} \tag{1} \end{array}$$
Atendendo às propriedades destas funções podemos determinar as soluções das equações
- $\sin x=\sin \alpha$;
- $\cos x=\cos \alpha$;
- $\tan x=\tan \alpha$.
Usando a identidade $\sin{(\pi - \alpha)}=\sin{\alpha}$ temos $$ x=\alpha \vee x=\pi-\alpha \Longrightarrow \sin x=\sin \alpha.$$ Atendendo à periodicidade da função $seno$, vem: $$\sin x=\sin \alpha \Longleftrightarrow x= \alpha + 2k \pi \vee x=\pi - \alpha + 2k \pi ,\quad k \in \mathbb{Z}$$
Por exemplo, $$\sin (x)=\frac12\Leftrightarrow x= \frac{\pi}{6} + 2k \pi \vee x=\pi - \frac{\pi}{6} + 2k \pi = \frac{5\pi}{6} + 2k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}$$
Atendendo a que $\cos{\alpha}=\cos{(-\alpha)}$ e ao período da função cosseno ($2\pi$), a solução geral da equação $\cos x=\cos \alpha$ é: $$x= \pm \alpha +2k \pi , \quad k \in \mathbb{Z}$$
Por exemplo, as soluções da equação $\displaystyle \cos{x}=-\frac{1}{2}$ são obtidas usando o facto de que $$\cos{\frac{2\pi}{3}}=\cos{\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)}=-\cos{\frac{\pi}{3}}.$$ Assim, $$\cos{x}=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2k\pi, \mbox{ com }k \in \mathbb{Z}$$ Como a função tangente é periódica de período $\pi$, a solução geral da equação $\tan x=\tan \alpha$ é:
$$x= \alpha +k \pi ,\quad k \in \mathbb{Z}$$
