Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricas
Verificam-se as seguintes identidades, qualquer que seja $x \in \mathbb{R}$: $$ \begin{array}{lll} \sin{\left(\frac{\pi}{2}- x \right)}= \cos{x} & \cos{\left(\frac{\pi}{2}- x \right)}= \sin{x} & \sin{\left(\pi- x \right)}= \sin{x} \\ & & \\ \cos{\left(\pi- x \right)}= -\cos{x} & \sin{\left(\pi+ x \right)}= -\sin{x} & \cos{\left(\pi+ x \right)}= -\cos{x} \tag{1} \end{array}$$
Atendendo às propriedades destas funções podemos determinar as soluções das equações
- $\sin x=\sin \alpha$;
- $\cos x=\cos \alpha$;
- $\tan x=\tan \alpha$.
Usando a identidade $\sin{(\pi - \alpha)}=\sin{\alpha}$ temos $$ x=\alpha \vee x=\pi-\alpha \Longrightarrow \sin x=\sin \alpha.$$ Atendendo à periodicidade da função $seno$, vem: $$\sin x=\sin \alpha \Longleftrightarrow x= \alpha + 2k \pi \vee x=\pi - \alpha + 2k \pi ,\quad k \in \mathbb{Z}$$
Por exemplo, $$\sin (x)=\frac12\Leftrightarrow x= \frac{\pi}{6} + 2k \pi \vee x=\pi - \frac{\pi}{6} + 2k \pi = \frac{5\pi}{6} + 2k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}$$
Atendendo a que $\cos{\alpha}=\cos{(-\alpha)}$ e ao período da função cosseno ($2\pi$), a solução geral da equação $\cos x=\cos \alpha$ é: $$x= \pm \alpha +2k \pi , \quad k \in \mathbb{Z}$$
Por exemplo, as soluções da equação $\displaystyle \cos{x}=-\frac{1}{2}$ são obtidas usando o facto de que $$\cos{\frac{2\pi}{3}}=\cos{\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right)}=-\cos{\frac{\pi}{3}}.$$ Assim, $$\cos{x}=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2k\pi, \mbox{ com }k \in \mathbb{Z}$$ Como a função tangente é periódica de período $\pi$, a solução geral da equação $\tan x=\tan \alpha$ é:
$$x= \alpha +k \pi ,\quad k \in \mathbb{Z}$$
