Resolução de outras equações

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Um processo muito usado na resolução de equações é usar a decomposição em fatores seguida da lei do anulamento do produto.
 
Um processo muito usado na resolução de equações é usar a decomposição em fatores seguida da lei do anulamento do produto.
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'''Lei do anulamento do produto:''' O produto de dois ou mais factores é nulo se e  só se pelo menos um dos factores é nulo, ou seja,  $$ a b \cdots z =0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0 \lor \cdots \lor z=0$   
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'''Lei do anulamento do produto:''' O produto de dois ou mais fatores é nulo se e  só se pelo menos um dos fatores é nulo, ou seja,  
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$$a b \cdots z =0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0 \lor \cdots \lor z=0$$   
 
    
 
    
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[[Exemplo-7|Exemplo]]
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===Outras equações===
  
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===Exemplo=== A lei do anulamento do produto permite determinar o conjunto solução da equação
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Considere-se a equação $x^4+x^2-12=0$.
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\frac{1}{2}(7-3x)(5-x)(x+1)=0.
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Aplicando a lei do anulamento do produto vem que
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\begin{eqnarray*}
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\frac{1}{2}(7-3x)(5-x)(x+1)=0 & \Leftrightarrow & \underbrace{\frac{1}{2}=0}_{F} \ \lor \ 7-3x=0 \ \lor \ 5-x=0 \ \lor \ x+1=0 \\
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& \Leftrightarrow & \ x=\frac{7}{3} \ \lor \ x=5 \ \lor \ x=-1
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\end{eqnarray*}
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Recorde-se que $F \lor {\cal C}\Leftrightarrow {\cal C}$, qualquer que seja a condição $\cal C$. Assim o conjunto solução é $\displaystyle \left\{-1,\frac{7}{3},5\right\}$.
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Outros processos de \textbf{resolução de outro tipo de equações} serão exemplificados.
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Apesar de se tratar de uma equação do 4º grau, onde não se encontra nenhum fator comum para colocar em evidência, pode-se resolver como sendo uma equação do 2º grau. Repare-se que
  
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===Exemplo 1=== Considere-se a equação $x^4+x^2-12=0$.
 
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Apesar de se tratar de uma equação do 4º grau, onde não se encontra nenhum factor comum para colocar em evidência, pode-se resolver como sendo uma equação do 2º grau. Repare-se que
 
 
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x^4+x^2-12=0 \Leftrightarrow \left(x^2\right)^2+x^2-12=0
 
x^4+x^2-12=0 \Leftrightarrow \left(x^2\right)^2+x^2-12=0
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Como $y=x^2$ tem-se que $x^2=3 \lor x^2=-4$. A equação $x^2=-4$ é impossível. Donde as soluções da equação dada são as mesmas da equação $x^2=3$.
 
Como $y=x^2$ tem-se que $x^2=3 \lor x^2=-4$. A equação $x^2=-4$ é impossível. Donde as soluções da equação dada são as mesmas da equação $x^2=3$.
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\begin{align*}
 
\begin{align*}
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x^2=3 & \Leftrightarrow x^2-3=0 \sse (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0, \mbox{ é a diferença de quadrados} & \\
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x^2=3 & \Leftrightarrow x^2-3=0 \Leftrightarrow (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0, \mbox{ é a diferença de quadrados} & \\
 
& \Leftrightarrow x-\sqrt{3}=0\lor x+\sqrt{3}=0, \mbox{ pela lei do anulamento do produto} & \\
 
& \Leftrightarrow x-\sqrt{3}=0\lor x+\sqrt{3}=0, \mbox{ pela lei do anulamento do produto} & \\
 
& \Leftrightarrow  x=\sqrt{3} \lor x=-\sqrt{3}
 
& \Leftrightarrow  x=\sqrt{3} \lor x=-\sqrt{3}
 
\end{align*}
 
\end{align*}
  
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[[Outro exemplo]]
  
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\noindent \textbf{Exemplo 2: } Pretende-se determinar o conjunto solução da equação
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[[Exercícios-8|Exercícios]]
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\frac{1}{x-2}+\frac{x}{3x+6}=\frac{4}{x^2-4}.
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Para simplificar a equação tem que se determinar o menor denominador comum às três fracções, pelo que, começa-se por decompor os denominadores em factores.
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Como $3x+6=3(x+2)$ e $x^2-4=(x-2)(x+2)$, tem-se que
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\begin{align*}
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\frac{1}{x-2}+\frac{x}{3x+6}=\frac{4}{x^2-4} & \sse \frac{1}{x-2}+\frac{x}{3(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}=0 & \\
+
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& \sse \frac{3(x+2)}{3(x+2)(x-2)}+\frac{x(x-2)}{3(x+2)(x-2)}-\frac{12}{3(x-2)(x+2)}=0 & \\
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& \sse \frac{3x+6+x^2-2x-12}{3(x+2)(x-2)}=0 & \\
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−
& \sse \frac{x^2+x-6}{3(x+2)(x-2)}=0 & \\
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\intertext{Sabe-se que
+
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\[
+
−
\begin{tabular}{|c|}
+
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  \hline
+
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  $$\textbf{No domínio da expressão, uma fracção é nula se e só se o seu numerador é nulo.} \\
+
−
  \hline
+
−
\end{tabular}
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−
\]
+
−
Assim}
+
−
& \sse x^2+x-6=0 \land 3(x+2)(x-2)\neq 0 & \\
+
−
& \sse x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2} \land \left(3\neq0 \land x+2\neq0 \land x-2\neq0 \right) & \\
+
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& \sse \left(x=2 \lor x=-3\right) \land \left(x\neq 2 \land x\neq -2\right) & \\
+
−
& \sse x=-3
+
−
\end{align*}
+
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Note-se que $2$ não pertence ao domínio da expressão donde não pode ser solução. O conjunto solução da equação dada é $\{-3\}$.
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−
 
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\subsubsection*{Exercícios Propostos} Determina, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes equações.\\
+
  
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\begin{tabular}{ll}
+
[[Matemática Elementar#Equações|Voltar]]
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(a) $\DS\frac{2x+7}{3}-\frac{2(x^2-4)}{5x}-\frac{4x^2-6}{15x}=\frac{7x^2+6}{3x^2}$ \ \ \ \ & (b) $\DS \frac{4x+3}{2x-5}-\frac{3x+8}{3x-7}=1$ \\
+
−
& \\
+
−
(c) $\DS \frac{3}{2}-\frac{6x^2}{9x^2-1}=\frac{2}{3x-1}$ & (d) $\DS \frac{x+\frac{9}{4}}{\left(2x-\frac{3}{2}\right)^2}-1=x$\\
+
−
& \\
+
−
(e) $\DS \sqrt{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}=5$ & (f) $\DS\frac{(x-\sqrt2)^2\left(x-\frac{1}{10}\right)(x+\sqrt{17})}{x^4+2x^2+1}=0$\\
+
−
\end{tabular}
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Latest revision as of 16:00, 6 February 2013

[edit] Resolução de outras equações

Um processo muito usado na resolução de equações é usar a decomposição em fatores seguida da lei do anulamento do produto.

Lei do anulamento do produto: O produto de dois ou mais fatores é nulo se e só se pelo menos um dos fatores é nulo, ou seja,

$$a b \cdots z =0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0 \lor \cdots \lor z=0$$

Exemplo

[edit] Outras equações

Considere-se a equação $x^4+x^2-12=0$.

Apesar de se tratar de uma equação do 4º grau, onde não se encontra nenhum fator comum para colocar em evidência, pode-se resolver como sendo uma equação do 2º grau. Repare-se que

\[ x^4+x^2-12=0 \Leftrightarrow \left(x^2\right)^2+x^2-12=0 \] Se se fizer uma mudança de variável $y=x^2$ e se aplicar a fórmula resolvente obtém-se \begin{align*} y^2+y-12=0 & \Leftrightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-12)}}{2\cdot1} & \\ & \Leftrightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2} & \\ & \Leftrightarrow y=\frac{-1+7}{2} \lor y=\frac{-1-7}{2} & \\ & \Leftrightarrow y=3 \lor y=-4. & \end{align*} Como $y=x^2$ tem-se que $x^2=3 \lor x^2=-4$. A equação $x^2=-4$ é impossível. Donde as soluções da equação dada são as mesmas da equação $x^2=3$.

\begin{align*} x^2=3 & \Leftrightarrow x^2-3=0 \Leftrightarrow (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0, \mbox{ é a diferença de quadrados} & \\ & \Leftrightarrow x-\sqrt{3}=0\lor x+\sqrt{3}=0, \mbox{ pela lei do anulamento do produto} & \\ & \Leftrightarrow x=\sqrt{3} \lor x=-\sqrt{3} \end{align*}

Outro exemplo

Exercícios

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