Inequações com módulos

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\subsection{Inequações com módulos}
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==Inequações com módulos==
  
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\begin{center}
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===Resolução de inequações do tipo $\vert f(x) \vert < g(x)$===
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\begin{tabular}{|c|}
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<blockquote>
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  \hline
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$\displaystyle \vert f(x) \vert < g(x) \Leftrightarrow \left[ f(x)<g(x) \land f(x)>-g(x)\right] \land g(x)>0$  
−
  \textbf{ Resolução de inequações do tipo $\vert f(x) \vert < g(x)$} \\
+
</blockquote>
−
\\
+
'''Nota:''' Se $g(x)\le0$ então a inequação é impossível.
−
  $\DS \vert f(x) \vert < g(x) \sse \left[ f(x)<g(x) \land f(x)>-g(x)\right] \land g(x)>0$ \\
+
    
−
\\
+
Note-se que $|a| \ge 0$, qualquer que seja $a$, portanto, a condição $|a| \le 0$ é equivalente a $|a|=0$, ou seja, $a=0$.  
−
  \textbf{Nota: } Se $g(x)\le0$ então a inequação é impossível.
+
−
   \\ \tiny{Note-se que $|a| \ge 0$, qualquer que seja $a$, portanto, a condição $|a| \le 0$ é equivalente a $|a|=0$, ou seja, $a=0$.}\\ \hline
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−
\end{tabular}
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\end{center}
+
  
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\bigskip
+
[[Exemplos-12|Exemplos]]
  
−
\subsubsection{Exemplos}
 
−
\begin{enumerate}
 
−
  \item Considere-se a inequação $\vert 5x+2\vert\le0$. Então
 
−
\[
 
−
\vert 5x+2\vert\le0 \sse  5x+2 \le 0 \land 5x+2\ge0 \land \underbrace{0\ge0}_{\V}
 
−
\]
 
−
Recorde-se que ${\cal C} \land \V\sse {\cal C}$, qualquer que seja a condição $\cal C$ e, além disso,
 
−
\[
 
−
5x+2 \le 0 \land 5x+2\ge0\sse 0\le5x+2 \le 0\sse 5x+2=0.
 
−
\]
 
−
Logo a solução é  $\DS5x+2=0 \sse x=-\frac{2}{5}$.
 
  
−
  \item Seja $\vert x^2-x\vert\le2x-3$.
+
===Resolução de inequações do tipo $\vert f(x) \vert > g(x)$===
−
\begin{align*}
+
<blockquote>
−
\vert x^2-x\vert\le2x-3 & \sse \left[ x^2-x\le2x-3 \land  x^2-x\ge-(2x-3) \right] \land 2x-3\ge0 & \\
+
  $\displaystyle \vert f(x) \vert > g(x) \Leftrightarrow \left( f(x)>g(x) \lor f(x)<-g(x)\right) \lor g(x)\le 0$
−
& \sse \left(x^2-x-2x+3\le0 \land  x^2-x+2x-3\ge0 \right) \land 2x\ge3 & \\
+
</blockquote>
−
& \sse \left(x^2-3x+3\le0 \land  x^2+x-3\ge0 \right) \land x\ge\frac{3}{2} & \end{align*}
+
'''Nota:''' Se $g(x)\le0$ inequação é sempre possível já que o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero, logo, também é maior do que um número negativo.
−
As duas primeiras inequações são do 2º grau.
+
  
−
\noindent Repare-se que $f(x)=x^2-3x+3$ não admite zeros ($\Delta=-3<0$) e tem a concavidade voltada para cima ($a=1>0$), o que permite concluir que o seu gráfico está sempre acima do eixo dos $xx$, ou seja, $x^2-3x+3\le0$ é uma condição impossível. Como $\F\land{\cal C}\sse\F$, qualquer que seja a condição $\cal C$, temos que a inequação dada é impossível, ou seja, o seu conjunto solução é $\emptyset$.
+
[[Exemplo-14|Exemplo]]
  
−
\end{enumerate}
+
[[Exercícios Inequações com módulos|Exercícios resolvidos]]
  
 +
[[Exercícios-7|Exercícios]]
  
−
 
+
[[Matemática Elementar#Inequações|Voltar]] &nbsp; [[Inequações com radicais|Seguinte]]
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\bigskip
+
−
 
+
−
\begin{center}
+
−
\begin{tabular}{|c|}
+
−
  \hline
+
−
  \textbf{ Resolução de inequações do tipo $\vert f(x) \vert > g(x)$} \\
+
−
\\
+
−
  $\DS \vert f(x) \vert > g(x) \sse \left( f(x)>g(x) \lor f(x)<-g(x)\right) \lor g(x)\le 0$ \\
+
−
\\
+
−
  \textbf{Nota: } Se $g(x)\le0$ inequação é sempre possível\\
+
−
  \tiny{já que o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero, logo, também é maior do que um número negativo.} \\
+
−
  \hline
+
−
\end{tabular}
+
−
\end{center}
+
−
 
+
−
\noindent \textbf{Exemplo}
+
−
Considere-se a inequação $\vert 3x-4\vert\ge2$.
+
−
Usando as propriedades anteriores, pode-se escrever
+
−
\begin{align*}
+
−
\vert 3x-4\vert\ge2 & \sse  3x-4 \ge 2 \lor 3x-4\le-2 \lor \underbrace{2<0}_{\F} &
+
−
\intertext{Recorde-se que ${\cal C} \lor \F\sse {\cal C}$, qualquer que seja a condição $\cal C$. Donde}
+
−
& \sse  3x\ge 6 \lor 3x\le 2 & \\
+
−
& \sse x\ge 2 \lor x\le \frac{2}{3}
+
−
\end{align*}
+
−
Logo o conjunto solução é $\DS\left]-\infty,\frac{2}{3}\right]\cup[2,+\infty[$.
+
−
 
+
−
\bigskip
+
−
 
+
−
\subsubsection*{Exercícios Propostos} Determine, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes inequações
+
−
\begin{description}
+
−
    \item[a)]$\vert 4x^2-5x\vert<1$;
+
−
\item[b)] $\vert 3x-9\vert\le 2x-6$;
+
−
\item[c)] $\vert x+4\vert\ge x+1$\end{description}
+

Latest revision as of 17:34, 9 January 2013

[edit] Inequações com módulos

[edit] Resolução de inequações do tipo $\vert f(x) \vert < g(x)$

$\displaystyle \vert f(x) \vert < g(x) \Leftrightarrow \left[ f(x)<g(x) \land f(x)>-g(x)\right] \land g(x)>0$

Nota: Se $g(x)\le0$ então a inequação é impossível.

Note-se que $|a| \ge 0$, qualquer que seja $a$, portanto, a condição $|a| \le 0$ é equivalente a $|a|=0$, ou seja, $a=0$.

Exemplos


[edit] Resolução de inequações do tipo $\vert f(x) \vert > g(x)$

$\displaystyle \vert f(x) \vert > g(x) \Leftrightarrow \left( f(x)>g(x) \lor f(x)<-g(x)\right) \lor g(x)\le 0$

Nota: Se $g(x)\le0$ inequação é sempre possível já que o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero, logo, também é maior do que um número negativo.

Exemplo

Exercícios resolvidos

Exercícios

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