Continuidade

Revision as of 10:25, 19 November 2012

Continuidade

Seja $I$ um intervalo aberto de números reais e $f:I\to\mathbb{R}$. A função $f$ é contínua em $a \in I$ se e só se existe $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ e $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$

• $f$ é contínua à direita de $a$ quando $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$.
• $f$ é contínua à esquerda de $a$ quando $\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)$.

Se $f$ não for contínua em $a$, $f$ diz-se descontínua em $a$.

Observação: Uma função diz-se descontínua no ponto $a$ se não existe $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ ou existe $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ mas é diferente de $f(a)$.

Continuidade num intervalo

• $f$ diz-se contínua num intervalo $I$ se $f$ é contínua em todos os pontos desse intervalo.
• Uma função é contínua em $[a,b]$ se for:
  • contínua em $]a,b[$;
  • contínua à direita do ponto $a$;
  • contínua à esquerda do ponto $b$.

Observação: Considerando $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, os pontos do domínio de $f$, estão à direita de $a$ e à esquerda de $b$, i.e., $a \leq x \leq b$. Daí que no cálculo dos limites nos extremos do intervalo se pense apenas em $\displaystyle \lim_{x\to a^+}{f(x)}$ e $\displaystyle \lim_{x\to b^-}{f(x)}$.

• As funções elementares conhecidas (polinomiais, racionais, trigonométricas, potências, exponencial e logarítmica) são funções contínuas no seu domínio.
• Uma função contínua em $I$ é contínua em qualquer subintervalo de $I$.

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