Propriedades dos limites infinitos
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! Indeterminação !! Limites notáveis | ! Indeterminação !! Limites notáveis | ||
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| − | + | |$\frac{0}{0}$ || {| class="wikitable" style="text-align:center" | |
| + | |- | ||
| + | | $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ | ||
| + | |- | ||
| + | |$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\cos x -1}{x}= 0$ | ||
| + | |- | ||
| + | |$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln{(x+1)}}{x}= 1$ | ||
| + | |- | ||
| + | | $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^x -1}{x}= 1$ | ||
| + | |} | ||
| 1 || 2 || 3 | | 1 || 2 || 3 | ||
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Indeterminação & \textbf{Limites Notáveis}\\ \hline | Indeterminação & \textbf{Limites Notáveis}\\ \hline | ||
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\end{tabular}\\ \hline | \end{tabular}\\ \hline | ||
Revision as of 18:59, 14 November 2012
O teorema da unicidade do limite enunciado anteriormente para limites finitos pode generalizar-se a limites infinitos.
As propriedades aritméticas dos limites finitos poderão também ser generalizadas a limites infinitos depois de estabelecida uma aritmética dos limites infinitos.
Aritmética dos limites
No caso em que a aplicação das propriedades do limite conduzam a resultados do tipo descrito abaixo, por abuso de linguagem escreve-se
- $-(+\infty)=(-\infty)$
- $(+\infty)+(+\infty)=(+\infty)$
- $(-\infty)+(-\infty)=(-\infty)$
- $(\pm\infty)+a=(\pm\infty)$
- $\infty\cdot\infty=\infty$
- $\infty\cdot a=\infty,\; \textrm{se}\; a\neq0$
- $\displaystyle \frac{1}{0^+}=+\infty$ & $\displaystyle \frac{1}{0^-}=-\infty $
- $\displaystyle \frac{1}{\infty}=0$
- $\displaystyle 0^{+\infty}=0$
- $\displaystyle 0^{-\infty}=+\infty$
No produto de limites infinitos é válida a regra de sinais usada no produto de números reais.
No caso de sermos conduzidos a um destes tipos
$$\frac{0}{0},\;\frac{\infty}{\infty},\; \infty \cdot 0,\;+\infty - \infty,\;+\infty^0, \;0^0,\;1^\infty.$$
diz-se que temos uma indeterminação.
Se no cálculo de um limite, surgir uma indeterminação, tal não significa que o
limite não exista. Dever-se-á proceder à manipulação da expressão analítica da
função em estudo por forma a averiguar a existência, ou não, desse limite.
Alguns limites que conduzem a indeterminações são designados limites notáveis e são fundamentais no cálculo de limites.
| Indeterminação | Limites notáveis |
|---|---|
| $\frac{0}{0}$ | class="wikitable" style="text-align:center" |
| $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ | |
| $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\cos x -1}{x}= 0$ | |
| $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln{(x+1)}}{x}= 1$ | |
| $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^x -1}{x}= 1$ |
| 1 || 2 || 3 |- ! 2 | 2 || 4 || 6 |- ! 3 | 3 || 6 || 9 |- ! 4 | 4 || 8 || 12 |- ! 5 | 5 || 10 || 15 |}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline Indeterminação & \textbf{Limites Notáveis}\\ \hline & \\ \hspace{3mm} & \hspace{3mm} & \\ & \\ \end{tabular}\\ \hline & \\ $1^{\infty}$ & $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x= e^a, a \in \mathbb{R}$ \\ & \\ \hline $\frac{\infty}{\infty}$ & \begin{tabular}{ll} & \\ UNIQ5af891f453584aff-MathJax-21-QINU, UNIQ5af891f453584aff-MathJax-22-QINU & \hspace{2cm} UNIQ5af891f453584aff-MathJax-23-QINU, UNIQ5af891f453584aff-MathJax-24-QINU\\ & \\ \end{tabular} \\ \hline
& \\
$0 \cdot \infty $ & $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}x^p\ln{x}=0$, $p \in \mathbb{R}^+$ \\ & \\ \hline \end{tabular}
