Assíntotas
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Seja $ f: \; D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ uma | Seja $ f: \; D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ uma | ||
função tal que $D$ contém um intervalo da forma $]a, +\infty[$, | função tal que $D$ contém um intervalo da forma $]a, +\infty[$, | ||
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é '''assíntota ao gráfico de $f$ à esquerda''' se | é '''assíntota ao gráfico de $f$ à esquerda''' se | ||
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Latest revision as of 16:27, 14 February 2013
[edit] Assíntotas não verticais
Seja $ f: \; D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ uma função tal que $D$ contém um intervalo da forma $]a, +\infty[$, para algum $a \in \mathbb{R}$. A reta de equação $y =mx + b$ é uma assíntota ao gráfico de $f$ à direita se $$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} [ f(x) -(mx + b) ]=0, $$ Seja $ f: \; D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ uma função tal que $D$ contém um intervalo da forma $]-\infty,a[$, para algum $a \in \mathbb{R}$. A reta de equação $y =mx + b$ é assíntota ao gráfico de $f$ à esquerda se $$ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} [ f(x) -(mx + b) ]=0. $$
- Se existirem, em $\mathbb{R}$, os limites $\displaystyle m =\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ e $\displaystyle b=\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - mx\right] $ então $y=mx+b$ é a equação de uma assíntota ao gráfico de $f$ à direita.
- Se existirem, em $\mathbb{R}$, os limites $\displaystyle m =\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$ e $ \displaystyle =\lim_{x \to -\infty} \left[ f(x) - mx\right] $ então $y=mx+b$ é a equação de uma assíntota ao gráfico de $f$ à esquerda.
[edit] Assíntotas verticais
Seja $f:D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $l \in \mathbb{R}$ e $a \in \mathbb{R}$ tal que $D$ contém um intervalo aberto de centro em $a$ com possível excepção do ponto $a$. A recta de equação $x=a$ diz-se uma assíntota vertical ao gráfico de $f$ se se verifica uma das condições: $$ \displaystyle \lim_{x \to a^{+}} f(x)= \pm \infty \hspace{0.5cm} \mbox{ou} \hspace{0.5cm} \displaystyle \lim_{x \to a^{-}} f(x)= \pm \infty $$
Observações:
- Uma função contínua não tem assíntotas verticais nos pontos do seu domínio.
- A recta de equação $x=a$ pode ser assíntota e $a\in D$. Por exemplo, seja $f$ definida por
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{x},& x\neq 0 \\ & \\ 0 & x=0\end{array}\right. $$ $f$ tem domínio $\mathbb{R}$ e $x=0$ é assímptota vertical ao gráfico de $f$ porque $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x)= +\infty$ e $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x)= -\infty$.
